Биномиальное распределение.
Предположим,
что в одинаковых условиях производится
n независимых испытаний, в результате
каждого из которых может появиться
событие А с вероятностью р или
противоположное событие
с вероятностью q (q = 1 - р). В каждой
серии из n испытаний событие А может
либо не появиться, либо появиться 1
раз, 2 раза, ... , n раз. Введем в рассмотрение
дискретную случайную величину Х -
"число появлений события А при n
испытаниях". Найдем закон распределения
этой случайной величины. Величина Х
может принимать следующие значения:
х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2, ... , хn
= n.
Вероятность pk того, что случайная
величина Х принимает значение xk,
вычисляется по формуле Бернулли
где
или
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биноминальным. Постоянные n и р, входящие в формулу, называются параметрами биноминального распределения (q = 1 - р).
Название биноминальное распределение объясняется тем, что правую
часть
равенства можно рассматривать как
общий член разложения бинома Ньютона
Поскольку
р + q = 1, то
т.е
Первый
член
в правой части разложения означает
вероятность того, что в n испытаниях
событие А не появится ни разу, второй
член
-
вероятность того, что событие А появится
один раз, третий член
-
вероятность того, что событие А появится
два раза, наконец, последний член
-
вероятность того, что событие А
появится n раз.
Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде следующей таблицы
