Векторное и комплексное представление гармонических колебание

Рис. 9.5. Представление гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграмм. В ряде случаев оказывается полезным представить колебания скалярных величин с помощью векторов. Данный способ называется методом векторных диаграмм. В чем сущность этого метода? Для представления величины x, изменяющейся по гармоническому закону x = A·cos(w·t + f₀), изобразим на произвольной оси X вектор r, исходящим из точки O (см. рис. 9.5). Пусть длина данного вектора равна амплитуде A, а угол с осью X равен фазе Ф. Допустим, что вектор r вращается вокруг точки O с угловой скоростью w против часовой стрелки, что соответствует положительному направлению отсчета углов. Тогда угол между вектором и осью, равный фазе колебаний, будет изменяться по закону Ф(t) = w·t + f₀. Значение физической величины x в любой момент времени зададим как проекцию вектора r на ось Х:r_x = x = A·cos(w·t + f₀).Итак, скалярное гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора с амплитудой A, который вращается вокруг закрепленной точки O с постоянной угловой скоростью w.

Скорость и ускорение колебаний

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на p/2. Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: , а для случая нулевой начальной фазы Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:  - вторая производная от координаты по времени. Тогда: . Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на p/2 и колебания смещения на p (говорят, что колебания происходят в противофазе).Величина   - максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы:  (Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения). Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:             и    .Можно записать:  - т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: , где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.