1)  34 36 20 2)  33 37 21 3)  32 36 22 4)  33 35 23 5)  32 37 24 6)  34 35 25 18-Й приказ: передача управления в первую ячейку.

Чем же отличаются новые записи в первых шести ячейках от прежних записей? Тем, что первые два адреса в этих ячейках имеют номера не от 26 до 31, как прежде, а номера от 32 до 37. Иначе говоря, машина снова будет производить те же действия, но числа будет брать не из ячеек 26-й–31-й, а из ячеек 32-й–37-й, где стоят коэффициенты второй системы уравнений. В результате машина решит вторую систему уравнений. После решения второй системы машина перейдет к третьей и т. д.

Из сказанного становится ясным, как важно уметь составить правильную "программу". Ведь машина "сама" ничего делать не "умеет". Она может лишь выполнять заданную ей программу. Имеются программы для вычисления корней, логарифмов, синусов, для решения уравнений высших степеней и т. д. Мы уже говорили выше о том, что существуют программы для игры в шахматы, для перевода с иностранного языка... Конечно, чем сложнее задание, тем сложнее соответствующая программа.

Заметим в заключение, что существуют так называемые программирующие программы, т. е. такие, с помощью которых сама машина может составить требуемую для решения задачи программу. Это значительно облегчает составление программы, которое часто бывает очень трудоемким.

<Paaaa

Глава третья. В ПОМОЩЬ АРИФМЕТИКЕ

Арифметика зачастую не в силах собственными средствами строго доказать правильность некоторых из ее утверждений. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающим приемам алгебры. К подобным арифметическим положениям, обосновываемым алгебраически, принадлежат, например, многие правила сокращенного выполнения действий, любопытные особенности некоторых чисел, признаки делимости и др. Рассмотрению вопросов этого рода и посвящается настоящая глава.

<Paaaa

Мгновенное умножение

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 988² выполняется так:

988 · 988 = (988 + 12) · (988 – 12) + 12² =

= 1000 · 976 + 144 = 976 144.

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

27² = (27 + 3) (27 – 3) + 3² = 729, 63² = 66 · 60 + 3² = 3969, 18² = 20 · 16 + 2² = 324, 37² = 40 · 34 + 3² = 1369, 48² = 50 · 46 + 2² = 2304, 54² = 58 · 50 + 4² = 2916.

Далее, умножение 986 · 997 выполняется так:

986 · 997 = (986 – 3) · 1000 + 3 · 14 = 983 042.

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000 – 14) · (1000 – 3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 · 1000 – 1000 · 14 – 1000 · 3 + 14 · 3.

Делаем преобразования:

1000 (1000 – 14) – 1000 · 3 + 14 · 3 = = 1000 · 986 – 1000 · 3 + 14 · 3 = = 1000 (986 – 3) + 14 · 3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя.

Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 · 787

выполняется так:

78 · 79 = 6162; 3 · 7 = 21;

результат:

616 221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) (780 + 7) = = 780 · 780 + 780 · 3 + 780 · 7 + 3 · 7 = = 780 · 780 + 780 · 10 + 3 · 7 = = 780 (780 + 10) + 3 · 7 = 780 · 790 + 21 = = 616 200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:

783 · 787 = (785 – 2) (785 + 2) = 785² – 4 = 616 225 – 4 = 616 221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

35²; 3 · 4 = 12. Отв. 1225. 65²; 6 · 7 = 42. Отв. 4225. 75²; 7 · 8 = 56. Отв. 5625.

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:

10a + 5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100a² + 100а + 25 = 100а (а + 1) + 25.

Выражение а (а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 – все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:

  и т. п.

<Paaaa