Логарифмы в электроосвещении
ЗАДАЧА
Причина того, что наполненные газом (часто называемые неправильно "полуваттными") лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике, общее количество света, испускаемое при белом калении, растет пропорционально 12-й степени абсолютной температуры. Зная это, проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз "полуваттная" лампа, температура нити накала которой 2500° абсолютной шкалы (т. е. при счете от –273 °C), испускает больше света, чем пустотная с нитью, накаленной до 2200°.
РЕШЕНИЕ
Обозначив искомое отношение через х, имеем уравнение
,
откуда
lgx = 12(lg25 – lg22); x = 4,6.
Наполненная газом лампа испускает света в 4,6 раза больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех же условиях даст 230 свечей.
Сделаем еще расчет: какое повышение абсолютной температуры (в процентах) необходимо для удвоения яркости лампочки?
РЕШЕНИЕ
Составляем уравнение
,
откуда
и
x = 6%.
Наконец, третье вычисление: насколько – в процентах – возрастет яркость лампочки, если температура ее нити (абсолютная) поднимется на 1%?
РЕШЕНИЕ
Выполняя с помощью логарифмов вычисление x = 1,0112, находим:
x = 1,13.
Яркость возрастет на 13%.
Проделав вычисление для повышения температуры на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при повышении температуры на 3% – увеличение яркости на 43%.
Отсюда ясно, почему в технике изготовления электролампочек так заботятся о повышении температуры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.
<Paaaa
Завещания на сотни лет
Кто не слыхал о том легендарном числе пшеничных зерен, какое будто бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до последнего, 64-го поля.
Однако с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина Франклина. Оно опубликовано в "Собрании разных сочинении Бенджамина Франклина". Вот извлечение из него:
"Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. [В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.] Сумма эта через сто лет возвысится до 131 000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31 000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4 061 000 фунтов стерлингов, из коих 1 060 000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3 000 000 – правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов".
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в
x = 1000 · 1,05100 фунтов.
Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов
lgx = lg1000 + 100 lg1,05 = 5,11893,
откуда
x = 131 000
в согласии с текстом завещания. Далее, 31 000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в
у = 31 000 · 1,05100,
откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:
y = 4 076 500
– сумму, несущественно отличающуюся от указанной в завещании.
Предоставляю читателю самостоятельно решить следующую задачу, почерпнутую из "Господ Головлевых" Салтыкова:
"Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей".
Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и сделав допущение, что он произвел вычисление правильно (допущение маловероятное, так как едва ли Головлев знал логарифмы и справлялся со сложными процентами), требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.
<Paaaa