Цифры 1, 5 и 6
Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.
Например, 462 = 2116; 463 = 97 336.
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.
Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:
10а + 6, 10b + 6 и т. д.,
где а и b – целые числа.
Произведение двух таких чисел равно
100аb + 60b + 60а + 36 = = 10 (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 = = 10 (10аb + 6b + 6а + 3) + 6.
Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.
Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.
Сказанное дает нам право утверждать, что, например,
3862567 |
оканчивается |
на |
6, |
815723 |
оканчивается |
на |
5, |
4911732 |
оканчивается |
на |
1 и т. п. |
<Paaaa
Числа 25 и 76
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.
Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:
100a + 76, 100b + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
10 000аb + 7600b + 7600а + 5776 = = 10000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = = 100 (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.
Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.
Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:
3762 = 141 376, 5763 = 191 102 976 и т. п.
<Paaaa
Бесконечные "числа"
Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.
Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.
Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:
100k + 76.
Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:
1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
1 000 000ab + 100 000ak + 100 000bk + 76 000a + + 76 000b + 10 000k2 + 15 200k + 5776.
Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100k + 76, если разность
15200k + 5776 – (100k + 76) = 15 100k + 5700 = = 15 000k + 5000 + 100 (k + 7)
делится на 1000. Это, очевидно, будет только при k = 3.
Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:
3762 = 141 376.
Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком l произведение
(10 000a + 1000l + 376) (10 000b + 1000l + 376)
оканчивается на 1000l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены
752 000l + 141 376.
Произведение оканчивается на 1000l + 376, если разность
752 000l + 141 376 – (1 000l + 376) = 751 000l + 141 000 = = (750 000l + 140 000) + 1000 (l + 1)
делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9.
Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д.
Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим "число", у которого бесконечно много цифр:
...7109 376.
Подобные "числа" можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение ("столбиком") также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр.
Интересно, что написанное выше бесконечное "число" удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению
x2 = x.
В самом деле, квадрат этого "числа" (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного "числа" оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры "числа" х2, где х = ... 7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что x2 = x.
Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76. [Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть найдена при помощи рассуждений; аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди приписать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому "число" ...7109 376 можно получить, приписывая спереди одну за другой цифры к шестерке.] Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:
5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625 и т. д.
В результате мы сможем написать еще одно бесконечное "число"
... 2 890 625,
также удовлетворяющее уравнению x2 = x. Можно было бы показать, что это бесконечное "число" "равно"
Полученный интересный результат на языке бесконечных "чисел" формулируется так: уравнение x2 = x имеет (кроме обычных х = 0 и x = 1) два "бесконечных" решения:
х = . . . 7 109 376 и х = . . . 2 890 625,
а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет. [Бесконечные "числа" можно рассматривать не только в десятичной, а и в других системах счисления. Такие числа, рассматриваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского "Математические беседы" (Гостехиздат, 1952).]
<Paaaa