Продажа кур

СТАРИННАЯ ЗАДАЧА

Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей.

По какой цене продавали они кур до и после полудня?

РЕШЕНИЕ

Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 – х, 16 – у, 26 – z кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через п. Для ясности сопоставим эти обозначения:

Число проданных кур				Цена
До полудня После полудня	x 10 –  х	y 16 – y	z 26 – z	т n

Первая сестра выручила:

тх + п (10 – х); следовательно, тх + п (10 – х) = 35;

вторая:

ту + п (16 – у); следовательно, ту + п (16 – у) = 35;

третья:

тz + п (26 – z); следовательно, тz + п (26 – z) = 35.

Преобразуем эти три уравнения:

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:

или

Делим первое из этих уравнений на второе:

или .

Так как х, у, z – числа целые, то и разности х – z, у – z – тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

необходимо, чтобы x – z делилось на 8, а у – z на 5. Следовательно,

,

откуда

Заметим, что число t – не только целое, но и положительное, так как х > z (в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья).

Так как х < 10, то

z + 8t < 10.

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z = 1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения

находим: х = 9, у = 6.

Теперь, обращаясь к уравнениям

тх + п (10 – х) = 35; ту + п (16 – у) = 35; тz + п (26 – z) = 35.

и подставив в них найденные значения х, у, z, узнаем цены, по каким продавались куры:

руб., руб.

Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

<Paaaa

Два числа и четыре действия

ЗАДАЧА

Предыдущую задачу, которая привела к трем уравнениям с пятью неизвестными, мы решили не по общему образцу, а по свободному математическому соображению. Точно так же будем решать и следующие задачи, приводящие к неопределенным уравнениям второй степени.

Вот первая из них.

Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

1) их сложили;

2) вычли из большего меньшее;

3) перемножили;

4) разделили большее на меньшее. Полученные результаты сложили – составилось 243. Найти эти числа.

РЕШЕНИЕ

Если большее число х, меньшее у, то

.

Если это уравнение умножить на у, затем раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим:

.

Но . Поэтому

.

Чтобы х было целым числом, знаменатель (у + 1)² должен быть одним из делителей числа 243 (потому что у не может иметь общие множители с у +1). Зная, что 243 = 3⁵, заключаем, что 243 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами: 1, 3², 9². Итак, (у + 1)² должно быть равно 1, 3² или 9², откуда (вспоминая, что у должно быть положительным) находим, что у равно 8 или 2.

Тогда х равно

или .

Итак, искомые числа: 24 и 8 или 54 и 2.

<Paaaa