§ 2. Основні теореми про границі.

1. Якщо с – стала величина, то

2. Якщо k- стала величина і існує границя функції f(x) при xa, то

3. Якщо в одній і тій же області визначення існують границі функцій f(x) i g(x) при xa, то

при умові limg(x) 0, g(x)  0

Властивості границь

1. Змінна величина не може прямувати до двох різних границь.

2. Якщо дві змінні прямують до однієї і тієї ж границі, а третя змінна знаходиться між ними, то і вона прямуватиме до тієї самої границі (принцип "двох міліціонерів")

(lim x = a; lim y = a; x < z < y;) ( lim z = a );

3. Різниця між змінною величиною яка має границю та самою її границею є величина безмежно мала.

4. Якщо різниця між змінною х та деякою сталою с є величина безмежно мала, то с є границею для х , тобто хс.

5. Якщо змінна в чисельнику деякого дробу прямує до границі відмінної від нуля, а знаменник цього дробу прямуватиме до нуля, то весь дріб прямуватиме до безмежності, тобто

( x  a , y  0 )  ( x/y  )

6. При обчисленні гпаниць степеневих функцій з сталим показником степеня , можна переходити до границі в основі степеня при умові, що границя основи степеня існує .

7. При обчисленні границі показникової функції з сталою основою можна переходити до обчислення границі в показнику степеня

8. При обчисленні границі логарифмічної функції з сталою основою можна переходити до обчислення границі під знаком логарифму:

Зауваження:

§3. Розкриття невизначеностей

Невизначеність - вираз, що є функцією, при обчисленні границі якої неможливо безпосередньо використати властивості границь; основні види невизначеності позначаються символами:

Правило 1 Щоб розкрити невизначеність типу , що задається відношенням двох многочленів, необхідно і чисельник і знаменник поділити на самий високий степінь змінної цих многочленів.

Правило 2. Щоб розкрити невизначеність типу , що задається відношенням двох многочленів, необхідно і чисельник і знаменник розкласти на множники і виконати скорочення на спільний множник.

Правило 3. Щоб розкрити невизначеність типу , що задається відношенням двох виразів які містять ірраціональності, слід спочатку позбавитись від ірраціональності за допомогою спряженого виразу.

Правило 4. Щоб розкрити невизначеність типу , що містить тригонометричні функції, необхідно пам"ятати:

Правило 5. ( принцип заміни б/м) . Щоб розкрити невизначеність типу можна і чисельник і знаменник цієї невизначеності замінити еквівалентними їм величинами

Означення: Еквівалентними величинами називають дві безмежно малі величини, границя відношення яких дорівнює одиниці, тобто

Таблиця еквівалентностей:

§4. Перша та друга особливі границі. Деякі визначні границі.

Особливі (визначні)границі - границі, користуючись якими дуже легко і просто знаходити числові значення для безмежної кількості інших границь, які іншими шляхами обчислюються значно складніше.

≈2,71828; e^-1;

Деякі границі, що часто зустрічаються в обчисленнях.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10