3.4.2 Указания по выполнению задания д-4

Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости: .

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы:

. (3.28)

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела массой m со скоростью

. (3.29)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью , то

, (3.30)

где – момент инерции тела вокруг оси Оz.

Если тело совершает плоскопараллельное движение, то

, (3.31)

где m – масса тела;

–скорость центра масс тела;

–угловая скорость;

–момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно к плоскости движения.

Работа А силы на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги М₀ М траектории от точки М₀ до точки М:

(3.32)

где – проекция силы на касательную к траектории точки;

–элементарное перемещение вдоль этой касательной;

–проекции силы на оси координат х, у, z.

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути

где s – пройденный путь;

–угол между силой и перемещением.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси полная работа пары сил с моментом М_z равна:

, (3.33)

где – элементарное угловое перемещение твердого тела.

Если момент М_z постоянный, а = 0, то.

Работа внутренних сил для неизменяемой механической системы равна нулю.

Мощность силы N характеризует быстроту совершения работы:

. (3.34)

Если точка под действием силы движется со скоростью, то мощность силы

(3.35)

Если твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси под действием пары сил с моментомМ_z, то мощность пары

. (3.36)

Теоремы об изменении кинетической энергии механической системы можно выразить в трех формах:

1. Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему:

. (3.38)

2. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему:

. (3.39)

3. Изменение кинетической энергии механической системы за конечный промежуток времени равно сумме работ внешних и внутренних сил, действую­щих на систему за то же время:

. (3.40)

Для неизменяемой механической системы:

. (3.41)

Для определения скоростей тел применяют теорему об изменении кинетической энергии в виде (3.40), а для определения ускорений в виде (3.39).

При выполнении задания необходимо кинетическую энергию всех тел системы выразить через ту скорость, которую требуется определить. При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение, в данном случае – через путь . При этом следует учесть, что соотношения между перемещениями будут такими же, как и между соответствующими скоростями.

3.4.3 Примеры выполнения задания д-4

Пример Д- 4.1. Груз 1 массой , опускаясь вниз по наклонной плоскости, приводит во вращение барабан2 ступенчатой формы (рис 3.95). К наружной ступени барабана прикреплена нить, соединяющая его с центром масс барабана 3, который катится без проскальзывания по наклонной плоскости под углом к горизонту . Массы груза1, барабанов 2, 3 равны соответственно: m₁ = 5 кг; m₂ = 4 кг; m₃ = 1 кг. Радиус большой окружности R₂ = 0,3 м; радиус малой окружности r = 0,1 м; радиус барабана R₃ = 0,2 м; F₁= 2(1+2s) Н. Радиус инерции барабана Барабан3 считать однородным цилиндром. На барабан 2 действует постоянный момент сил сопротивления .

Рис. 3.95. Расчетная схема к примеру Д-4.1

Определить угловую скорость барабана 3 при движении груза 1 в тот момент, когда пройденный путь станет равным: s = 2 м, если угол наклона плоскости к горизонту = 60°, коэффициент трения скольжения груза1 по наклонной плоскости = 0,1. В начальный момент времени система находилась в покое.

Решение:

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, связанных нитями. Изобразим все действующие на систему внеш­ние силы: активные момент сопротивления М₂, реакции и силы трения и .

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

2. Определяем Т₀ и T. Так как в начальный момент система находилась в покое, то T₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

. (3.42)

Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси z, тело 3 движется плоскопараллельно, получим:

.

Все входящие в вышеприведенные равенства скорости следует выразить через искомую . Приняв во внимание, что Р – мгновенный центр скоростей барабана3, получим:

; ;.

Моменты инерции имеют значения ,.

Подставив все величины в равенство 3.42 будем иметь:

. (3.43)

3. Так как система не изменяемая, то Найдем сумму работ, действующих внешних сил, при перемещении груза 1 на s. В результате получим:

Работа остальных сил равна нулю. Тогда сумма работ внешних сил

(3.44)

4. Подставив выражения (3.43) и (3.44) в уравнение, выражающее теорему об изменение кинетической энергии (3.40), получим:

Подставив числовые значения величин, входящих в данное равенство, имеем:

.

Отсюда находим искомую угловую скорость:

с^-1.

Ответ: с^-1.

Пример Д-4.2. Дано:

В качестве механической системы рассмотрим тела 1, 2 и 3 (рис. 3.96) и применим к ней теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

.

Поскольку нить нерастяжима, а колеса не проскальзывают относительно друг друга, то Следовательно,

.

Соотношение между скоростями точек и угловыми скоростями тел не зависит от положения механической системы. Изобразим механическую систему в промежуточном положении и приложим все внешние силы, включая реакции связей.

Вычислим работу внешних сил. Силы тяжестей колес и реакций осей колес работу не совершают, так как точки их приложения неподвижны (рис. 3.96). Силыявляются внутренними, поэтому

.

Рис. 3.96. Расчетная схема к примеру Д-4.2

Учитывая, что связь между перемещениями аналогично связи между скоростями, выразим черезh:

.

Тогда

.

Вычислим кинетическую энергию механической системы. Учитывая, что тела 1 и 2 совершают вращательное движение, а 3 - поступательное, получим:

.

Выразим и через :

, .

Тогда

.

Подставив полученные Т₁ , Т₂ и в (3.40), получим:

При известной угловой скорости найдем и окончательно получим:

.

Подставляя известные величины, найдем

Ответ:

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет