§3. Волновая функция и ее физический смысл.
Из
содержания предыдущих двух параграфов
следует, что с микрочастицей сопоставляют
волновой процесс, который соответствует
ее движению, поэтому состояние частицы
в квантовой механике описывают волновой
функцией, которая зависит от координат
и времени (x,y,z,t).
Конкретный
вид -функции
(пси-функции) определяется состоянием
частицы, характером действующих на нее
сил. Если силовое поле,
действующее на частицу, является
стационарным, т. е. не зависящим от
времени, то -функцию
можно представить в виде произведения
двух
сомножителей, один из которых зависит
от времени, а другой – от координат:
(5.1)
В
дальнейшем будем рассматривать только
стационарные состояния. -функция
является вероятностной характеристикой
состояния частицы. Чтобы
пояснить это, мысленно выделим достаточно
малый объем
,
в пределах которого значения -функции
будем считать одинаковыми.
Тогда вероятность нахождения dW
частицы
в данном объеме
пропорциональна ему и зависит от квадрата
модуля -функции
(квадрата
модуля амплитуды волн де Бройля):
(3.2)
Отсюда следует физический смысл волновой функции:
.
(3.3)
Квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.
Интегрируя выражение (3.2) по объему, определяем вероятность нахождения частицы в этом объеме в условиях стационарного поля:
(3.4)
Если известно, что частица находится в пределах объема V, то интеграл выражения (5.4), взятый по объему V, должен быть равен единице:
(3.5)
– условие нормировки -функции.
Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения или условия на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.
1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений.
Квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции
Таким образом, состояние микрочастицы полностью определяется волновой функцией. Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по определению, например, координаты имеют вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых опытов над одинаковыми системами получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, то есть будут появляться чаще. То же относится и к измерениям импульса.