Бином Ньютона

Исторически название бином Ньютона несправедливо, формулу знали ещё среднеазиатские математики, начиная с Омара Хайяма (Гийас ад-Дин Абул-Фатин Ибрахим Хайям (около 1048 - после 1122) – иранский математик, астроном и поэт); в Европе до Ньютона (Исаак Ньютон (1643- 1727) – английский физик, астроном и математик) её знал Паскаль. Заслуга Ньютона в том, что он обобщил эту формулу для нецелого показателя n. Итак,

(1)

Формула (1) легко доказывается методом математической индукции.

Замечание. Для нецелого n при | х |< 1, формула имеет вид

Свойства биномиальных коэффициентов

Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул. Например:

1. Пусть a = b = 1. Получим

, состоящего из n элементов. Действительно,

т. к. - число k-элементных , то сумма в левой части есть число всех подмножеств.

2. Пусть a = -1, b = 1. Отсюда

3. 

Действительно,

4. ( k : 0 ≤ n ≤ k) (2)

Иными словами, с помощью этого тождества можно последовательно вычислить при n = 0, затем при n = 1, при n = 2 и т. д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

В (k+1)-й строке которой по порядку стоят числа , а остальные числа вычисляются по формуле (2). Поскольку располагаются в этой таблице строкой выше, чем , и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения надо сложить находящиеся справа и слева от него числа предыдущей строки. Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4 и 6 пятой строки.

Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блэза Паскаля (1623- 1662), в трудах которого она встречается. Это название исторически неточно, так как такую таблицу знал уже арабский учёный Амар Хайям, живший в 12 веке.

(