Розділ б.1 потоки подій

Потоком подій називається послідовність однорідних подій, що з'являються одне за іншим у випадкові моменти часу.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від вибору початку відліку.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарний інтервал часу двох і більше подій істотно менша за ймовірність попадання на цей проміжок однієї події.

Потік подій називається потоком без наслідку, якщо число подій, що потрапляють на будь-який інтервал часу , не залежить від того, скільки подій потрапило на будь-який інший непересічний з ним інтервал.

Потік подій називається найпростішим, якщо він стаціонарний, ординарний і не має наслідку.

Інтервал часу між двома сусідніми подіями найпростішого потоку має показниковий розподіл

(при ), (Б.1.1)

де – величина зворотна середньому значенню інтервалу .

Інтенсивністю потоку подій називається середнє число (математичне очікування числа) подій, що доводяться на одиницю часу. Для стаціонарного потоку ; для нестаціонарного потоку інтенсивність, в загальному випадку, залежить від часу: .

7

Розділ б.2 марківські ланцюги з неперервним часом

Функція називається випадковою функцією, якщо її значення при будь-якому аргументі є випадковою величиною.

Реалізацією випадкової функції називається конкретний вигляд, який вона приймає в результаті досліду.

Випадкову функцію , аргументом якої є час, називають випадковим процесом.

Випадковий процес, що протікає в деякій фізичній системі , називається марківським (або процесом без наслідку), якщо він має наступну властивість: для будь-якого моменту часу ймовірність будь-якого стану системи в майбутньому (при ) залежить тільки від її стану в сьогоденні (при ) і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла в цей стан.

Марківський випадковий процес з дискретними станами і неперервним часом називають неперервним марківським ланцюгом.

Щільністю ймовірності переходу , називається границя відношення ймовірності переходу із стану в стан за малий проміжок часу , що примикає до моменту , до довжини цього проміжку, коли вона прагне до нуля.

При розгляді випадкових процесів з дискретними станами і неперервним часом зручно представляти переходи системи із стану в стан як такі, що відбуваються під впливом деяких потоків подій; при цьому щільність ймовірності переходу одержує сенс інтенсивностей відповідних потоків подій. Якщо всі ці потоки найпростіші, то процес, що протікає в системі , буде марківським.

Нехай система має кінцеве число станів . Для опису випадкового процесу, що протікає в цій системі застосовуються, так звані, імовірності станів

8

, (Б.2.1)

де - ймовірність того, що система в момент знаходиться в стані ( ).

Очевидно, що для будь-якого виконується умова нормування

. (Б.2.2)

Для знаходження ймовірності (Б.2.1) потрібно розв’язати систему диференціальних рівнянь (рівнянь Колмогорова), що мають вигляд:

. (Б.2.3)

Інтенсивності можуть залежати від часу .

Щоб розв’язати систему (Б.2.2) для ймовірностей станів , потрібно задати початковий розподіл ймовірностей

, (Б.2.4)

сума яких дорівнює одиниці:

. (Б.2.5)

Якщо всі потоки подій, що переводять систему із стану в стан, є найпростішими, в деяких випадках існує фінальні (або граничні) ймовірності станів

, (Б.2.6)

не залежні від того, в якому стані система знаходилася в початковий момент.

Система, в якій існує фінальні ймовірності, називається ергодичною і відповідний випадковий процес - ергодичним.

Фінальні ймовірності станів (якщо вони існують) можна знайти розв’язавши систему лінійних алгебраїчних рівнянь; систему отримують з диференціальних рівнянь Колмогорова, поклавши їх ліві частини (похідні) такими що дорівнюють нулю.

9