ЛЕКЦІЯ № 3. ПРОГНОЗУВАННЯ НА ОСНОВІ ПРОСТОЇ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ

1. Загальне поняття про кореляційно-регресійний аналіз

При вивченні економічного явища головним є встановлення причино-наслідних відношень. Причина – сукупність умов, обставин, дій, що приводять до появи наслідку (якогось результату). Такі відношення, як правило, транзитивний характер, тобто властивості причини ( ) переходять на наслідок ( ). Для виділення головних причин явище розглядається поетапно. На першому етапі проводиться якісний аналіз явища, що вивчається; на другому – побудова моделі зв’язку, а на третьому – інтерпретація отриманих результатів. Ознаки явища поділяють на факторні (причина) і результативні (наслідок).

При вивченні економічних явищ розрізняють три види зв’язку між ознаками:

1. Функціональний зв’язок – певному значенню факторної ознаки відповідає певне значення результативної.

2. Стохастичний (випадковий) зв’язок – прояви залежності спостерігаються не в кожному окремому випадку, а в загальному, при великій кількості повторень.

3. Кореляційний зв’язок – частиний випадок стохастичного при якому зміна середнього значення результативної ознаки обумовлена зміною факторної ознаки.

Кореляція (лат. взаємозв’язок) – це статистична залежність між випадковими величинами, що не має строгого функціонального характеру, але при якій зміна однієї випадкової величини приводить до зміни математичного очікування іншої.

Розрізняють такі види кореляційного зв’язку:

1. Парна кореляція – взаємозв’язок між двома випадковими величинами.

2. Множинна кореляція – залежність результативної ознаки від двох і більш факторних.

3. Частинна кореляція – залежність між результативною і факторною ознаками при фіксованому значенні інших факторних ознак.

Можна розглядати два види аналізу між змінними: кореляційний та регресійний аналіз. Кореляційний аналіз досліджує щільність зв’язку між результативною та факторною ознаками, а регресійний – форму зв’язку (тобто аналітичний вираз зв’язку). Тобто основною його ціллю є оцінка функціональної залежності середнього значення результативної ознаки від значення факторної х.

Таким чином кореляційно-регресійний аналіз вирішує задачі:

• Оцінка рівняння регресії.

• Оцінка щільності зв’язку через коефіцієнт кореляції.

Основними передумовами цих видів аналізу є:

кореляційного – підпорядкованість сукупності всіх факторних і результативної ознаки нормальному ( ) або близькому до нього закону розподілу;

регресійного – регресійна ознака підпорядковується нормальному закону розподілу, а факторна – довільному.

Умовами застосування кореляційно-регресійного аналізу є:

1. Всі ознаки та їх сумісні розподіли підпорядковуються нормальному закону.

2. Дисперсія результативної ознаки є постійною (D(y)=const) при зміні як її величини при зміні величини факторної (умова гомоскедастичності).

3. Окремі спостереження повинні бути незалежними.

Розмірність рівняння регресії (кількості факторів) існує такий емпіричний критерій: кількість факторних ознак (k) в 5–6 разів менше об’єму вибірки (n).

В теорії кореляційно-регресійного аналізу розрізняють такі моделі:

1. Відносно кількості змінних: проста і множинна, або багатофакторна регресія (кореляція).

2. Відносно форми зв’язку: лінійна і нелінійна.

Лінійна форма простіша та використовується для апроксимації (лат. наближатися, тобто наближене зображення одних математичних об’єктів іншими простішими) в залежності, якщо результативна і факторна ознаки змінюються однаково, приблизно за арифметичною прогресією, та не6великому діапазоні значень. В інших випадках використовують нелінійні форми, наприклад, при оберненому зв’язку – гіперболічну залежність, а якщо регресом (у) змінюється значно швидше ніж факторна ознака (х) – степеневу або показникові залежність.

Для апроксимації досліджуваних даних при кореляційно-регресійному аналізі можуть бути використані такі залежності:

– лінійна за параметрами та пояснювальною змінною;

– квадратична (степенева), лінійна за параметрами, але не лінійна за пояснювальною (факторною) змінною (в рівняння входять х не тільки першої степені);

– степенева;

, – показникові;

– логарифмічна;

– рівностороння гіпербола;

– дробно-лінійна;

– дробно-раціональна.

Інколи використовують кусково-лінійну або кусково-поліноміальну інтерполяцію*.

Інтерполяція – лат. заміна. В статистиці це спосіб математичного обґрунтування наближеного зображення відсутніх членів ряду.

Екстраполяція – наближене знаходження значень даних, що знаходяться поза рядом відомих даних.

При інтерполяції весь відрізок функції поділяють на частини, що описують лінійною функцією або поліномом. Але в точках з’єднання відрізків буде розриватися перша похідна. В таких випадках використовують інтерполяцію сплайнами. Сплайн – функція, що на кожному відрізку інтерполяції є алгебраїчним багаточленом, а на всьому заданому відрізку безперервна разом разом з декількома своїми похідними. Частіше розглядають побудову сплайнів третьої степені (кубічні сплакни).