1.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций. При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. В этом смысле способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа.

Примеры. 3адача 1. Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рис. 3.13, 3.24, 3.27 гл. 3. Задача 2. Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми. Задача решается аналогично предыдущей. Задача 3 . Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью. Задача 4. Определение величины угла между двумя плоскостями. Указания к решению: в задаче 3 плоскость необходимо преобразовать в плоскость уровня, прямую - в линию уровня путем трех последовательных замен плоскостей проекций (существуют и другие пути решения); в задаче 4 заданные плоскости необходимо преобразовать в проецирующие. Примечание. Решение задач 3 и 4 приведено в работе [1]. Решите их самостоятельно.

 ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (2)

2.1. Задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами 2.2. Задачи, в которых определяются общие элементы геометрических фигур          2.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности. (Вспомогательные позиционные задачи)        2.2.2. Первая позиционная задача (построение точек пересечения линии и поверхности)        2.2.3. Вторая позиционная задача (построение линии пересечения двух поверхностей)        2.2.4. Способ вспомогательных сфер        2.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур, называются позиционными. К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур.

2.1. Задачи, выражающие отношения между фигурами

2.1.1. Относительное положение прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. а. Прямые параллельные Если прямые a и b параллельны, то их одноименные проекции параллельны, т.е.

а b a₁ b₁ a₂ b₂

(рис. 4.1). Для прямых общего положения справедливо и обратное утверждение:

a₁ b₁ a₂ b₂ а b

Таким образом, для того, чтобы судить по чертежу о параллельности двух прямых общего положения, достаточно иметь любую пару проекций каждой из них. Несколько иначе обстоит дело в случае, если прямые являются линиями уровня. Линии уровня параллельны, если их проекции на параллельную им плоскость проекций параллельны. Например, горизонтали h и h' (рис. 4.2) параллельны, так как параллельны их проекции h₁ и h'₁, а профильные прямые (АВ) и (СD)(рис. 4.3) не параллельны, так как их проекции на П₃ не параллельны. Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3

б. Прямые пересекающиеся Если прямые с и d пересекаются, то точка К их пересечения проецируется в точки К₁ и К₂ пересечения их одноименных проекций. Очевидно, что К₁ и К₂ принадлежат одной линии связи (рис. 2.4 а, б). Справедливо и обратное утверждение: К₁ = с₁ d₁ и K₂= c₂ d₂ c d, если К₁ и К₂ принадлежат одной линии связи. в. Прямые скрещивающиеся Прямые непараллельные и непересекающиеся называются скрещивающимися. Один из возможных вариантов чертежа скрещивающихся прямых показан на рис. 2.5, где l m, так как l не параллельна m и l не пересекается с m. Р ис. 2.5

Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2, принадлежащих прямым l и m. Точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фронтально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П₁. Фронтальная проекция 1₂ точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 2₂ точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена над прямой m. По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное положение прямых l и m относительно фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 4₁ точки 4, принадлежащей прямой l, расположена ниже, чем горизонтальная проекция 3₁ точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена перед прямой m.