Общие положения

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рис. 3.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис. 3.1, а, этого сделать нельзя. Р ис. 3.1

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов: 1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур; 2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций; 3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую. Рассмотрим некоторые из них.

 

1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П₁ или П₂) заменяют новой плоскостью П₄. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П₄ выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П₂/П₁ может быть преобразована в новую систему П₂/ П₄ при замене плоскости П₁ плоскостью П₄ П₂ или в систему П₄/П₁ при замене плоскости П₂ плоскостью П₄ П₁. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П₂/ П₄ может быть преобразована в систему П₅/П₄ при замене плоскости П₂ плоскостью П₅ П₄, а система П₄/П₁ - в систему П₄/П₅ - при замене плоскости П₁ плоскостью П₅ П₄ и т. д. Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П₁ (или П₂), другая плоскость П₂ (или П₁) должна оставаться неизменной. Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П₂/П₁ системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций. Каждая новая плоскость проекций П₄, П₅, ... условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П₄, заменяющая горизонтальную плоскость П₁, условно называется также "горизонтальной", хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве. Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.