- •Глава 1. Некоторые понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.2. Элемент неопределенности и его вероятностные характеристики
- •1.3. Элементы саморегулирования и обратная связь в технологических процессах
- •2.1.«Черный ящик» и математические модели
- •2.2. Математическая статистика в исследованиях
- •2.3. Математическое программирование экстремальных задач
- •2.4. Роль вычислительной техники в решении кибернетических задач
- •2.6. Области применения вычислительной техники
Математические методы обработки эксперимента.
Глава 1. Некоторые понятия теории вероятностей и математической статистики
Любому закономерному процессу в технике сопутствуют случайные отклонения Характеристики физических свойств руды, содержание металла в руде, химический состав концентратов, плотность пульпы и т.д. имеют большие или меньшие расхождения с номинальными значениями,
Точно предсказать конечный результат отдельного процесса или опыта практически невозможно, так как случайные явления каждый раз протекают несколько отлично. Однако при многократном повторении опыта обнаруживаются вполне определенные закономерности, позволяющие прогнозировать исход основной массы опытов,
Изучением закономерностей в случайных явлениях занимается теория вероятностей. Математическая статистика изучает методы анализа результатов массовых испытаний.
1,1. Событие
Исходом любого опыта (испытания), осуществляемого при вполне определенных условиях, является событие.
Событие, которое в результате данного опыта должно непременно произойти, называется достоверным событием. Примером достоверного события является извлечение черного шара из ящика, содержащего только черные шары.
Событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произой-ти, называется случайным событием. Примером случайного события является извлечение белого шара из ящика, содержащего белые и черные шары.
Случайные события называются несовместимыми, если появление одного из них ис- ключает появление другого. В тех случаях, когда появление одного события не исключает возможности появления другого, случайные события называются совместимыми.
Если в результате данного опыта обязательно произойдет одно из нескольких событий, то такие случайные события называются единственно возможными.
В ряде опытов исходом могут быть такие события, каждое из которых не является объ-ективно более возможным, чем другое. Эти события называются равновозможными случай-ными событиями.
Случайные события могут быть зависимыми и независимыми. Два события называются независимыми, если вероятность любого из этих событий не зависит от наступления или ненаступления другого события. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.
События А1, А2, А3, ... ,Аn представляют собой полную систему случайных событий, если исходом опыта может явиться одно из этих событий. Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным случаем. Все те случаи, при которых наступает интересующее нас событие, называются благоприятными этому событию.
Поскольку в технике результаты исследований и наблюдений обычно оцениваются числами, случайные события (величины) могут принимать те или иные числовые значения. В ряде наблюдений случайные величины принимают отделенные, изолированные друг от друга значения, которые заранее возможно перечислить. Такие случайные величины называются дискретными (число однотипных механизмов, ремонтируемых в данный момент в ряде цехов). Случайные величины, значения которых не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными (содержание кислорода в отходящих газах ряда печей).
Пусть дискретная случайная величина X может принимать в результате опыта значения х1, х2, х3, ... хn. Каждое из них, возможно, поэтому существует некоторая вероятность того, что в результате опыта X примет данное значение.
Отношение числа опытов m, в результате которых случайная величина X приняла значение хi к общему числу произведенных опытов n называется частотой появления события Х = хi . Частота m/n сама является случайной величиной и меняется в зависимости от количества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения рi, называемого вероятностью события
Х = хi. Поэтому вероятность события на практике вычисляют по формуле
pi = P(X=xi) = m/n (1.1)