2.2. Математическая статистика в исследованиях

Применение методов математической статистики для анализа технологических про-цессов и построения математических моделей связано с постановкой задачи создания систем автоматического управления. В последние годы использова­ние математической статистики находит широкое применение для получения количественных характеристик и количественной оценки влияния тех или иных факторов.

Отмеченное положение в значительной степени обусловлено развитием математической статистики как мате­матической дисциплины, тесно связанной с технической киберне­тикой общим подходом к объекту исследования как к «черному ящику».

Другим существенным фактором в развитии математической статистики явилось созда-ние математиче­ской теории эксперимента, в известной мере, самостоя­тельной области стати-стики. Теория эксперимента оказалась жиз­ненно важной для исследования сложных много-факторных процессов в химии, биологии, металлургии и т. д.. К теории эксперимента можно отнести методы статистического планирования экстре­мальных экспериментов, методы выявления значимых факторов, динамическое программирование и др.

На практике возникает необходимость свести первоначальную массу данных к неболь-шому числу показателей, которые достаточно полно характеризуют свойства всей совокуп­ности. В исследовательской работе часто приходится ограничи­ваться небольшим числом определений, которые представляют со­бой случайную выборку из генеральной совокупности.

Математическая статистика позволяет определить, в какой сте­пени свойства выборки отражают свойства генеральной совокуп­ности, оценить параметры генеральной совокупности и установить для них доверительные интервалы даже по весьма малым вы­боркам.

Методы математической статистики весьма разнообразны и мо­гут применяться при исследовании широкого круга вопросов.

Дисперсионный анализ применяется для оценки вклада в раз­брос (дисперсию) выходного параметра какого-либо фактора. Та­кая оценка может потребоваться при исследовании колеблемости данных, воспроизводимости экспериментов, определении довери­тельного интервала значений какой-либо величины или коэффици­ентов в уравнении, описывающем процесс.

Близко к дисперсионному анализу примыкает факторное пла­нирование эксперимен-тов. Факторный анализ позволяет оценить вклад исследуемых факторов и их взаимодей-ствий в среднее зна­чение параметра, характеризующего процесс в целом.

Корреляционный анализ позволяет оценить тесноту связи раз­личных параметров или факторов, влияющих на процесс. Этот ме­тод широко распространен при исследовании про-мышленных процессов. При определении коэффициента корреляции, если он достаточно вы-сок, можно получить информацию, позволяющую выбрать основные регулирующие воздей-ствия на процесс, точки и методы измерения факторов, установить минимально необходимое количество измеряемых параметров. Если коэффициент линейной корреляции мал по абсо-лютной величине, то это свидетельствует о более сложной зависимости (не линейной) между измеряемыми параметрами или о существенном влиянии других факторов на данные пара-метры. В этом случае необходимо вычисление более сложной зависимости в виде нелиней-ного уравнения.

Получение таких уравнений методом наименьших квадратов составляет основу регрес-сионного анализа. Однако необходима ос­торожность при использовании регрессионного уравнения, в част­ности обязательна проверка адекватности модели и процесса.

Одним из бурно развивающихся направлений регрессионного анализа является плани-рование экстремальных экспериментов. Это направление включает: выбор основных воздействующих на процесс факторов, определение на­правления крутого восхождения (градиента) к экстремальному значению, движение по градиенту, получение регрессионного уравнения с по­мощью плана более высокого порядка в экстремальной области.

Весьма большое распространение получили статистические ме­тоды определения ста-тических и динамических характеристик сложных недетерминированных процессов для их автоматизации с выбором регуляторов и управляющих машин.