Критерии для оценки степени близости наблюдаемого распределения к нормальному

Допустим, что данное статистическое распределение выравнено с помощью некоторой теоретической кривой f(х). Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и эмпириче­ским распределением неизбежны некоторые расхождения. Естест­венно возникает вопрос, объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная нами кривая плохо выравнивает данное статисти­ческое распределение. Для ответа на такой вопрос служат так на­зываемые критерии согласия.

Для оценки степени близости теоретического распределения к эмпирическому в статистике известны несколько критериев, одним из которых является критерий акад. А. Н. Колмогорова.

В качестве меры расхождения между теоретическим и стати­стическим распределениями А. Н. Колмогоров рассматривает ма­ксимальное значение разности между статистической функцией рас­пределения F*(х) и соответствующей теоретической функцией рас­пределения

D = max│F*(х)–F(х)│ (3.15)

Схема применения критерия А. Н. Колмогорова следующая. Строится статистическая функция распределения F*(х) и предпо­лагаемая теоретическая функция распределения F(х) ; определяется максимум D модуля разности между ними (рис. 3. 8).

Рис. 3.8. Схема применения критерия А. Н. Колмогорова

Далее вычисляется величина

(3.16)

и по таблице находится вероятность р(λ). Если вероятность р(λ) весьма мала, то гипотезу следует отвергнуть как неправдоподоб­ную. При сравнительно больших р(λ) ее можно считать совмести­мой с опытными данными. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно принять только в случае, когда гипотетическое распределение F(х) известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только вид функции распре­деления F(х), но и все входящие в нее параметры.

К. Пирсон предложил критерий χ ² (хи - квадрат) для оценки степени различия двух сравниваемых рядов частот (можно сравнивать эмпирический и теоретический или два эмпирических ряда).

В качестве меры отклонения берется выражение

(3.17)

где m и F(х)N — соответственно эмпирическая и теоретическая частоты.

По специальным таблицам определяется, при какой вероятности значение χ², вычисленное по формуле (3.17), превзойдет таблич­ное; при большой вероятности ряды различаются несущественно.

Сравнение распределений можно провести также с помощью критерия В. И. Романовского

(3.18)

где В — число интервалов минус 3.

Если R<3, то можно предполагать, что разность между эмпи­рическим и теоретическим распределением носит случайный ха­рактер.

Рассмотрим пример вычисления критериев А. Н. Колмогорова и В. И. Романовского по данным ряда распределения извлечения во флотационных опытах. Составим сводную таблицу обработки ре­зультатов измерений (табл. 3.2).

Таблица3.2