- •Кинематика
- •Кинематика точки
- •Способы задания движения точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения точки
- •Частный случай задания движения точки в полярной системе координат
- •1.1.3. Траекторный (естественный) способ задания движения точки
- •Определение пути s(t), пройденного точкой по траектории
- •Скорость точки при различных способах задания ее движения
- •1.2.1. Скорость точки при векторном способе задания ее движения
- •1.2.2. Скорость точки при координатном способе задания ее движения
- •1.2.3 Скорость точки при траекторном способе задания ее движения
- •1.3.2. Ускорение точки при координатном способе задания ее движения
- •Понятие о сопровождающем (естественном) трехграннике
- •1.3.3. Ускорение точки при естественном способе задания ее движения
- •Кинематические уравнения движения точки по траектории (закон скоростей и закон траекторных координат)
- •Способы задания движения точки и кинематические характеристики
- •Расчетно-графическая работа к 1 Кинематика точки
- •Простейшие движения твердого тела
- •2.1. Степени свободы
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.3.1 Угловая скорость и угловое ускорение тела
- •2.3.2 Скорость и ускорение любой точки твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении
- •3.2. Скорости точек твердого тела при плоском движении
- •3.2.1. Метод полюса
- •3.2.2. Метод мгновенного центра скоростей
- •3.2.3. Определение положения мгновенного центра скоростей
- •3.4. Расчетно-графическая работа к2 Кинематика плоского движения
- •3.4.1. Схемы конструкций и исходные данные
- •Продолжение табл.3.4.1
- •Окончание табл. 3.1.1
- •3.4.2. Указания и план выполнения
- •3.4.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к2 Кинематика плоского движения
- •4.2. Углы Эйлера
- •4.2.1.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
- •4.2.2. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение. Кинематические уравнения Эйлера
- •4.2.3. Скорость и ускорение точек тела. Формула Ривальса
- •4.3. Расчетно-графическая работа к3 Кинематика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (случай регулярной прецессии).
- •4.3.1.Схемы конструкций и исходные данные
- •4.3.2. Указания и план выполнения
- •4.3.3. Примеры выполнения расчетно-графической работы к3 (регулярная прецессия)
- •4.4. Общий случай движения твердого тела
- •6. Сложное движение точки
- •6.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки
- •6.2. Зависимости между скоростями и ускорениями точек в относительном, переносном и абсолютном движениях
- •6.3. Расчетно-графическая работа к4 Кинематика сложного движения точки при переносном вращательном движении
- •6.3.1. Схемы конструкций и исходные данные
- •6.3.2. Указания и план выполнения
- •6.3.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к4 сложное движение точки при переносном вращательном движении
- •1. Кинематические характеристики точки м в относительном движении
- •2. Кинематические характеристики точки м в переносном вращательном движении
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Образец оформления титульного листа
- •Кинематика Расчетно-графическая (курсовая) работа
- •1. Кинематика точки……………………………………………..2
- •1.1. Способы задания движения точки…………………………………3
- •1.4. Кинематические уравнения движения точки по траектории (закон скоростей и закон траекторных координат) ……………15
- •6.2. Зависимости между скоростями и ускорениями точек в относительном, переносном и абсолютном движениях……
3.2. Скорости точек твердого тела при плоском движении
3.2.1. Метод полюса
Рис.3.4
На рис.3.4 представлено положение плоской фигуры S и ее отрезка PM в неподвижной системе координат OXYZ, Для произвольного момента времени справедливо векторное равенство:
(3.3)
При движении плоской фигуры векторы и изменяются и по модулю и по направлению, вектор же изменяется только по направлению, так как его модуль равен для твердого тела расстоянию между точками P и M. Продифференцировав по времени равенство (3.3), получим:
Обозначив и назвав скоростью точки M тела при вращении его вокруг оси Pz’, проходящей через полюс P перпендикулярно плоскости плоской фигуры, получим
(3.4)
Рассмотрим вектор . Поскольку вектор вектор постоянного модуля, то = , где вектор, лежащий в плоскости фигуры, перпендикулярный и направленный против хода часовой стрелки. Тогда вектор лежит в плоскости фигуры, перпендикулярен отрезку PM, соединяющему точку M с полюсом P, и направлен в сторону вращения плоской фигуры вокруг оси Pz’ (рис.3.4).
Модуль вектора определяется как:
(3.5)
Применив векторную формулу Эйлера, определяющую вектор скорости точки тела, вращающегося вокруг оси, равный векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор точки относительно какой-либо точки, лежащей на оси вращения тела (см. 2.14):
можно представить выражение (3.5) в векторной форме:
Окончательно имеем выражение для определения скоростей точек плоской фигуры методом полюса:
(3.6)
Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры при ее плоском движении по методу полюса равна векторной сумме скорости полюса, построенной при рассматриваемой точке M, и скорости данной точки при вращении фигуры вокруг оси Pz’, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости плоской фигуры.
3.2.2. Метод мгновенного центра скоростей
Мгновенным центром скоростей называется точка на плоскости, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Найдем эту точку, обозначив ее . Пусть в данный момент времени скорость точки P, принятой за полюс, равна и фигура S вращается с угловой cкоростью Проведем прямую РNH, перпендикулярную вектору , в направлении вращения (рис.3.5), отложим на этой прямой отрезок P = и определим скорость полученной точки , выбрав за полюс точку P:
Отсюда следует, что векторы и должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Так как вектор перпендикулярен отрезку P , то прямая, на которой должна
н аходиться точка , перпендикулярна вектору . Чтобы
Рис.3.5
выполнялось условие = , точка должна находиться на прямой PNH. Поскольку = , а
,
мгновенный радиус (расстояние от точки до мгновенного центра скоростей ) будет равен: P = .
Таким образом, приняв за полюс плоской фигуры S точку , можно определить скорость любой точки (пусть точки M) по формуле:
(3.7)
где расстояние от точки M до мгновенного центра скоростей . Вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения фигуры вокруг оси , проходящей через z’, а его модуль пропорционален мгновенному радиусу = .
Таким образом, скорости точек плоской фигуры в данный момент времени вычисляются так же, как если бы фигура вращалась вокруг оси, проходящей через z’ перпендикулярно плоскости плоской фигуры и плоскости движения, с той же угловой скоростью .
Метод МЦС значительно упрощает определение скоростей точек твердого тела при плоском движении. Поэтому важно уметь определять положение МЦС, т.е. точки .