6. Сложное движение точки

6.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки

В ряде задач механики требуется рассмотрение движения точки одно

временно в нескольких системах отсчета, из которых одна условно принимается за неподвижную  (АСО), а связанную с ней систему координат

Рис.6.1.

OXYZ с единичными ортами , а другая определенным образом движется относительно принятой неподвижной системы отсчета и

ее принимают за подвижную систему отсчета(ПСО), а связанную с ней систему координат О’ xyz с единичными ортами . Движение точки М называется сложным, если точка перемещается относительно подвижной системыО’xyz, неизменно связанной с некоторым телом, принятым за (ПСО), которое в свою очередь движется относительно неподвижной системы отсчета (АСО) и связанной с ней системы координат OXYZ (рис. 6.1)

Несколько примеров сложного движения точки:

движение человека, идущего по эскалатору метро относительно стены туннеля (относительно неподвижной системы отсчета (АСО)  OXYZ является сложным, так как человек движется относительно эскалатора  подвижной системы отсчета (ПСО)  О’xyz и вместе с эскалатором  относительно неподвижной стены  неподвижной системы отсчета (АСО)  OXYZ;

аналогичным образом могут быть представлены движение человека, корабля, плывущего по реке, относительно неподвижного берега;

движение снаряда в канале ствола орудия при одновременном вращении ствола в процессе слежения за целью и т.д.

1. Движение точки М относительно подвижной системы отсчета (ПСО)  О’xyz называется относительным, а скорость и ускорение точки в этом движенииотносительной скоростью ( ) и относительным ускорением ( ), которые определяются по формулам раздела1 «Кинематика точки» в зависимости от способов задания движения точки (см. табл.1.1).

2. Движение подвижной системы отсчета (ПСО) О’xyz относительно неподвижной системы отсчета (АСО)  OXYZ называется переносным, а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки (А), с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называются  скоростью ( ) и ускорением ( ) точки М в переносным движении, которые определяются по формулам раздела «Кинематика твердого тела» в зависимости от вида движения твердого тела  поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси или неподвижной точки, плоскопараллельное, общий случай движения (разд.2-5).

Так, в примере движения человека, идущего по эскалатору метро, скоростью ( ) человека в переносном движении будет скорость ступеньки, на которой он находится в данный момент времени.

3. Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета (АСО)  OXYZ называется абсолютным (сложным), а скорость и ускорение точки в этом движении  абсолютной скоростью ( ) и абсолютным ускорением ( ).

6.2. Зависимости между скоростями и ускорениями точек в относительном, переносном и абсолютном движениях

В задачах кинематики сложного движения точки требуется установить зависимости между скоростями и ускорениями точки в относительном, переносном и абсолютном движениях.

Для этого необходимо установить связь между изменениями вектора в подвижной и неподвижной системах отсчета.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета (АСО)  OXYZ задано вектором с началом в точке О, тогда абсолютная траектория точки М  является годографом радиус-вектора (рис.6.1), а абсолютные скорость и ускорения точки М определяются выражениями

(6.1)

Положение точки М относительно подвижной системы отсчета (ПСО) О’xyz  задано радиус-вектором с началом в точке О’, тогда относительная траектория точки М  является годографом радиус-вектора (рис.6.1), а относительные скорость и ускорения точки М определяются по формулам (см. табл.1.1) раздела (глава1) «Кинематика точки» следующими выражениями:

(6.2)

Скорость ( ) и ускорение ( ) точки М в переносная движении определяются по формулам раздела «Кинематика твердого тела» в зависимости от его вида движения  поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси или неподвижной точки, плоскопараллельное, общий случай движения (главы 2-5).

Сформулируем теоремы о сложении скоростей и ускорений точки в сложном ее движении (без вывода).

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

(6.3)

Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, ускорения точки в переносном движении и ускорения Кориоли’са:

Рис.6.2

, где (6.4)

ускорение Кориолиса  . (6.5)

Ускорение Кориолиса есть векторная физическая величина, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости  переносного движения, перенесенной в рассматриваемую точку М, на вектор  относительной скорости точки.

Согласно общему правилу векторного произведения, вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис.6.2,а), в ту сторону, откуда поворот от к на наименьший угол кажется против хода часовой стрелки. Если угол между векторами и обозначить , то по модулю ускорение Кориолиса равно

(6.6)

Остановимся на частных случаях, когда ускорение Кориолиса

максимальное: (6.7)

 обращается в нуль:

1) т.е. переносное движение  поступательное;

2) , т.е. в те моменты времени, когда в относительном движении точка остановилась, например, при изменении направления относительного движения;

3) когда вектор скорости относительного движения параллелен вектору угловой скорости переносного вращения (  ).