23.2.4. Аксиоматическое определение вероятности

Замечание. Современное аксиоматическое определение вероятности было предложено академиком А.Н. Колмогоровым. Оно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций и теорией множеств и устраняет недостатки всех предыдущих определений вероятности.

Неопределяемым понятием аксиоматической теории вероятностей Колмогорова является множество , элементы которого называют элементарными событиями. Вместе с множеством рассматривается множество подмножеств элементарных событий, элементы которого называют случайными событиями. На множестве определяются отношения между событиями, аналогичные введенным в п. 23.1. Затем определяется вероятность случайного события с помощью системы аксиом.

Аксиомы вероятности

Аксиома 1. Каждому случайному событию поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. .

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события , , …, попарно несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из событий , , …, может быть вычислена по формуле .

Замечание. Приведенная система аксиом дополняется расширенной аксиомой сложения. Необходимость новой аксиомы объясняется тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.

Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий , , …, , …, то .

Замечание. Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.

Аксиома 4’ (аксиома непрерывности). Если последовательность событий , , …, , … такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событий есть невозможное событие, то .

Теоретический материал: [2, гл. 10, 10.1], [3, гл. 17, 17.1], [4, гл. 1], [6, гл. 1], [7, гл. 1], [12, гл. 22, 22.1], [13, гл. 1], [21, гл. 2], [24, гл. 11], [30, гл. 1], [31, гл. 2], [33, ч II, гл. 5, § 1].

Задания для решения на практическом занятии

1. В ящике 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из ящика черный шар?

2. В ящике10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

3. В лотерее 2 000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на 4 билета – выигрыш по 50 руб., на 10 билетов– по 20 руб., на 20 билетов – по 10 руб., на 165 билетов – по 5 руб., на 400 билетов – по 1 руб. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

4. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров:

а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?

5. Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.

6. Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу, и моменты прихода независимы?

7. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга.

8. Брошены 2 игральные кости. Построить пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: а) равна 3; б) равна 5.

9. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

10. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

11. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80-ти случайно отобранных деталей. Определить частоту появления нестандартных деталей.