24.3. Предельные теоремы теории вероятностей

Локальная предельная теорема Муавра. Если вероятность наступления некоторого события в независимых испытаниях постоянна и равна (0< <1), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит ровно раз, удовлетворяет при соотношению равномерно для всех , для которых находится в каком-нибудь конечном интервале.

Следствие. Локальная формула Муавра: .

Пример 10. В условиях примера 9 вычислим вероятность с помощью локальной теоремы Муавра:

.

Замечание. Если значения р и q не слишком близки к 0 и 1, то интегральная теорема Муавра–Лапласа дает удовлетворительные результаты, но при р и q близких к 0 или 1 это представление работает плохо. Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра–Лапласа дала хороший результат, требуется, чтобы n было очень велико. Пуассон доказал приближенную формулу, приспособленную для малых р.

Теорема Пуассона. Если в последовательности серий испытаний события каждой серии взаимно независимы между собой и имеют каждое вероятность , зависящую только от номера серии, а – число фактически появившихся событий n-й серии, тогда из следует, что .

Следствие. Формула Пуассона: , где в предположении, что эта величина слабо меняется от серии к серии.

Свойства как функции

1. .

2. Если , то (величина возрастает при увеличении от 0 до ).

3. Если , то (величина убывает при увеличении от до ).

4. Если , то (если – целое число, то имеет два максимальных значения: при и при ).

Замечание. Случаи применения формулы Пуассона и локальной формулы Муавра следует различать по следующему правилу:

1) если значения р и q не слишком близки к 0 и 1, , то применяют локальную формулу Муавра;

2) если значения р и q близки к 0 или 1, , то применяют формулу Пуассона.

Пример 11. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Решение. Проверка учебников из тиража представляет серию однородных испытаний (схему Бернулли). Вычислим , =0,0001 близко к 0. Следовательно, применим формулу Пуассона, получим (Приложение 5).

Интегральная предельная теорема Муавра–Лапласа. Если µ есть число наступлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна , причем 0< <1, то равномерно относительно а и b ( ) имеет место соотношение .

Следствие. Интегральная формула Муавра–Лапласа:

,

где , , , – функция Лапласа (Приложение 6).

Замечание. В Приложении 6 все значения, большие 5, заменяют значением при =5, погрешность при этом составляет менее .

Пример 12. В условиях примера 9 вычислим вероятность с использованием интегральной теоремы Муавра–Лапласа.

Решение. По интегральной теореме Муавра–Лапласа имеем:

.

Теоретический материал: [2, гл. 10, 10.2–10.4], [3, гл. 17, 17.2–17.5], [4, гл. 1], [6, гл. 2–5], [7, гл. 2–5], [12, гл. 22, 22.2–22.5], [13, гл. 1, 2], [21, гл. 1, 2], [24, гл. 11], [30, гл. 1], [31, гл. 2–4], [33, ч II, гл. 5, § 1].