24.2. Схема Бернулли
В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях (физический и технический эксперимент, метеорология, организация производства и т.д.). Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Простейший тип таких испытаний состоит в том, что в каждом из испытаний некоторое событие может появиться с одной и той же вероятностью и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих и последующих испытаний. Этот тип событий называют схемой Бернулли (по имени исследователя Якоба Бернулли). Схема Бернулли положила начало многим дальнейшим построениям и обобщениям теории вероятностей.
Пусть проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью может наступить некоторое событие . В схеме Бернулли под элементарным событием принято понимать последовательность наступлений или ненаступлений события в данной последовательности испытаний.
Формула Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одна и та же и равна , то вероятность того, что событие появится в этих испытаниях ровно раз, вычисляют по формуле
.
Пример 8. Вероятность того, что расход
электроэнергии на продолжении одних
суток не превысит установленной нормы,
равна
.
Найти вероятность того, что в ближайшие
6 суток расход электроэнергии в течение
4-х суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального
расхода электроэнергии на продолжении
каждых из 6 суток постоянна и равна
.
Тогда вероятность того, что расход
электроэнергии в течение 4-х суток из 6
не превысит нормы, по формуле Бернулли,
равна
.
Свойства поведения
как функции от
1.
.
2. Если
(или
),
то
(вероятность
с увеличением
от 0 до
возрастает).
3. Если
(или
),
то
(вероятность
с увеличением
от
до
убывает).
4. Если
(или
),
то
.
Если
является целым числом, то максимальное
значение вероятность
принимает для двух значений
,
а именно для
и
.
Если
не является целым числом, то максимального
значения вероятность
достигает при
,
равном наименьшему целому числу, большему
.
Определение 4. Число
называют наивероятнейшим числом
наступлений события
в
испытаниях, если значение
при
не меньше остальных значений
,
то есть
при
.
Если
и
,
то число
можно определить из двойного неравенства
.
Разность граничных значений в этом
двойном неравенстве равна 1. Если
является целым числом, то имеется два
наивероятнейших значения
и
Пример 9. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10 000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется: а) ровно 40; б) не более 70?
Решение. =10 000, =0,005. Поэтому по формуле Бернулли находим
а)
;
б) вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным 1, 2, 3, …, 70. Таким образом,
.
Замечание. Пример
9 показывает, что при решении подобных
задач возникают задачи, требующие
приближенного вычисления сумм
для заданных
и достаточно
больших
.
Точно также необходимы приближенные
формулы для вычисления
вероятностей
при больших значениях
и
или же при малых
,
но больших
.
Задача
приближенного вычисления
и
была решена А. Муавром.