2. Методы Адамса-Моултона

Методы Адамса-Башфорта используют ранее найденные значения решения дифференциального уравнения в точке и в предыдущих точках. При построении интерполяционного полинома можно использовать и точки , и т. д. При этом возникает класс неявных методов, известных как методы Адамса-Моултона.

Простейший случай состоит в использовании точек , , …, и построении интерполяционного многочлена степени , удовлетворяющего условиям .

Методы Адамса-Моултона используются в т. н. «методах прогноза-коррекции».

Если , - линейная функция, график которой проходит через точки и .

Рис.5.

ИМН на : .

Подставим точки и :

Соответствующий метод Адамса-Моултона второго порядка:

(36)

При интерполяционный полином определяет параболу, проходящую через точки , и :

Рис.6.

ИМН:

Для нахождения коэффициентов многочлена воспользуемся представлением (35), увеличив на единицу коэффициенты при :

Введем замену

(37)

Тогда: .

Получили метод Адамса-Моултона третьего порядка:

(38)

Выведем формулу метода четвертого порядка точности.

Ему соответствует кубический полином, построенный по точкам , , и :

.

Коэффициенты , найдем из представления (35):

, , , .

Воспользуемся заменой (10), получим:

, .

Определим приращение :

Метод Адамса-Моултона четвертого порядка:

(39)

3. Методы прогноза-коррекции

Заметим, что в полученных методах Адамса-Моултона значение неизвестно: ведь значение определяется только неявно. Например, соотношение является уравнением относительно неизвестного значения .

На практике обычно не решают непосредственно такие уравнения, а используют совокупность явных и неявных многошаговых методов, что приводит к методу прогноза и коррекции (они называются также методами предиктор-корректор). Суть этих методов состоит в следующем. На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:

1. С помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле.

2. Используя неявный метод (корректор), в результате итераций находятся приближения , , , , . Критерий окончания итерационного процесса: .

Явная схема используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы строится итерационный процесс вычисления , поскольку это значение входит в правую часть выражения .

Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвертого порядка:

Прогноз:

	(40)

Коррекция:

(41)

В целом этот метод является явным. Сначала по формуле (13) вычисляется значение , являющееся «прогнозом» для . Затем используется для вычисления промежуточного значения , которое, в свою очередь, используется в формуле (14). Таким образом, формула Адамса-Моултона «корректирует» приближение, даваемое формулой Адамса-Башфорта.

Задание на лабораторную работу

Решить дифференциальное уравнение

• Методом Рунге Кутты 4-го порядка

• Одношаговым методом с автоматическим выбором шага интегрирования

• Многошаговым методом численного интегрирования

Исходные данные

№	Дифференциальное уравнение	y0	x0	xn	Точное решение ДУ
1		3	1	2
2		1	1	2
3		2	1	2
4		3	1	2
5		2	1	2
6		6	2	3
7		2,1738	2	3
8		1	0	1
9		1	0	1
10		3	2	3
11		0	2	3
12		0	5	6
13		1	0	1
14		–2	1	2
15		0	0	1
16		1	0	1
17		0	1	1,5
18		0	1	2
19		0	2	3
20		0	1	2
21		0	1	2
22		0	3	4
23		3	1	2
24		2	1	2
25		1	1	2
26		0,5	0	1
27		0	0	1
28		0	1	2
29		0	2	3
30		0	3	4