3. Расчет на прочность
Расчет на прочность производится по нормальным напряжениям из условия:
σmax ≤ [σ]
Для пластичных материалов допускаемые напряжения при растяжении и сжатии одни и те же. Допускаемые касательные напряжения: [τ] =0,5 – 0,6 [σ].
Для тонкостенных балок производится проверка прочности по касательным напряжениям.
Пример 1. Для балки (рис. 3.1), изготовленной из малоуглеродистой стали определить размеры прямоугольного поперечного сечения при h/b=3, [σ]= 160 МПа, а= 3м, Р=50 кН.
Опасное сечение В: изгибающий момент М= 150 кН▪м, Q= 50 кН.
Согласно (3.7):
σmax=6M/bh2=2M/3b3 ≤ [σ]
или
b= 86 мм, h=260 мм, А= 224 см2.
Максимальные касательные напряжения незначительны:
τmax= 1,5Q/A= 3,35 МПа.
Пример 1а. Для той же балки подобрать двутавровое поперечное сечение ГОСТ 8239. [σ]= 160 МПа.
Решение. Минимально допустимый из условия прочности момент сопротивления (3.2):
W≥М/[σ] = 938 см3.
По таблице выбираем двутавр № 40.
W=953 см3, А= 72,6 см2, толщина стенки 8,3 мм, статический момент полусечения 545 см3
τmax = 5▪545/8,3▪19=17,3 МПа.
По сравнению с первым вариантом площадь поперечного сечения балки и ее вес в 3 раза меньше, а касательные напряжения, хотя больше, чем в предыдущем случае, но также незначительны.
Пример 2. На двух опорную балку (рис. 3.5). Интенсивность распределенной нагрузки q= 1 кН/м, сила Р= 2 кН. Размеры на рисунке указаны в м.
Решение. Реакции YA, XA, YB найдем из условий равновесия:
YA= 7 кН, XA=0, YB = 11 кН, [σ]= 160 МПа.
Т. к. на всех участках балки действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности ─ q, зависимость Q(x) линейно убывает; М(x) ─ квадратичная функция, убывает на участках СА и МВ (на этих участках Q(x) отрицательна), на остальных Q(x) положительна. В точке N ─ Q(x) = 0, q < 0 и М(x) имеет максимальное значение. В точках A, D, B на эпюре Q(x) скачки на величину приложенных сосредоточенных сил YA, Р и YB соответственно.
Рис. 3.5
Уравнения моментов и поперечных сил имеют вид:
участок СА: Q=─qx; M=─qx2/2
участок АD: Q=─qx +YA; M=─qx2/2+YA (x─2);
координата т. N при Q N =0; x*= YA/q (x N = 7м; M N =10,5 кН м)
участок DB: Q=─qx +YA ─ Р; M=─qx2/2+YA (x─2)─ Р(x─9)
для последнего участка BE выберем начало оси в x1 т. Е, тогда:
Q=q x1; M=─qx12/2.
Опасное сечение N. Из условия прочности: W≥М/[σ] = 67 см3.
Выбираем двутавровое поперечное сечение № 14 ГОСТ 8239, для которого момент сопротивления W=81,7 см3, погонный вес 13,7 кг/м.
4. Косой изгиб
При косом изгибе плоскость момента не проходит через главную ось инерции. Для симметричного сечения ось симметрии является главной. На рис. 3.6 показана балка, имеющая симметричное поперечное сечение, но поперечная сила и плоскость действия изгибающего момента проходит под углом α к плоскости симметрии (рис. 3.6 а). Изгибающий момент в поперечных сечениях балки:
М= Р (L ─x)
где L ─ длина балки, x ─ координата, отсчитываемая по оси балки.
Разложим эту силу на две составляющие PZ, PY, действующие в плоскостях симметрии и, применяя принцип независимости действия сил определим напряжения как сумму напряжений от каждой из составляющих.
а) б) в)
Рис. 3.6
Тогда:
PZ= - Psinα, PY=P cosα.
MZ= PY Р (L ─x), MY= PZ Р (L ─x)
Напряжения:
σ= M (y cosα / JZ + z sinα/ JY) (3.7)
Уравнение нейтральной линии nn (рис. 3.6 б.в):
y cosα / JZ + z sinα/ JY=0
tgβ= y/z=tgα JZ/ JY
β─ угол наклона нейтральной линии.
При JZ = JY все оси, проходящие через центр тяжести являются главными.
Наибольшие напряжения будут в точках, которые больше всего удалены от нейтральной оси (в т. А и В).
НАПРЯЖЕНННОЕ СОСТОЯНИЕ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
1. Напряженное состояние в точке.
2. Теория предельных состояний. Расчет на прочность
НАПРЯЖЕНННОЕ СОСТОЯНИЕ.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
1. Напряженное состояние в точке
Напряжения на площадке, проходящей через точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Материал рассматривается как сплошная среда.
Для анализа напряженного состояния в точке шестью сечениями выделяют элементарный параллелепипед и напряжения в секущих плоскостях рассматриваются как напряжения в точке. Полное напряжение на площадке может быть разложено на три составляющие (рис. 4.1): одну по нормали к сечению: σх, σY σZ и две в плоскости сечения τXY, τXZ, τYX, τYZ, τZX, τZY.
Рис. 4.1
Первый индекс в обозначении касательного напряжения ─ нормаль к плоскости, а второй ─ направление его действия.
Например, для площадки перпендикулярной к оси это будет нормальное и касательные составляющие напряжения. Напряжения на противоположных гранях равны между собой. Причем из уравнений равновесия следует, что касательные напряжения, перпендикулярные к общему ребру, равны между собой и направлены либо к общему ребру, либо от него.
При статическом нагружении большей части конструкционных материалов в диапазоне нормальных температур механическое состояния материала в точке во многом зависит от вида и уровня напряжений.
2. Теория предельных состояний. Расчет на прочность
Под предельным напряженным состоянием принято называть такое, при котором происхот переход от одного состояния к другому. Для пластичных материалов это переход от упругого деформирования к пластическому, а для хрупкого ─ к разрушению.
В качестве эталонного принято напряженного состояние при растяжении. Эквивалентным называется такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы оно было равноопасно с заданным.
Для расчета эквивалентного напряжения для пластичных материалов часто используют гипотезу наибольших касательных напряжений, согласно которой два вида напряженных состояния считаются равноопасными, если их наибольшие касательные напряжения равны между собой:
τmax*= τmaxР
здесь τmaxР─ максимальное касательное напряжение при растяжении.
При растяжении τmaxР=σ/2,
где σ ─ нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса при растяжении.
Тогда
σЭКВ= 2 τmax* (4.1)
Плоское напряженное состояние
Частным случаем напряженного состояния является плоское, при котором напряжения на одной из граней прямоугольного элементарного параллелепипеда равны нулю (рис. 4.2). Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны:
τXY = τYX
Рис. 4.2
Напряжения на наклонной площадке определим из условия равновесия отсеченной части элементарного параллелепипеда (рис. 4.2):
σα=σX cos2α+ σY sin2α +τXY sin2α;
τα=(σX + σY ) sin2α/2 ─ τXY cos2α (4.2)
Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, для которых угол α определим из условия:
dτα /dα =0
tg 2α= (σX ─ σY ) / 2 τXY
Пример. Статический расчет вала (рис. 4.3). Стальной стержень АВ смонтирован на двух шарнирных опорах. Определить диаметр вала, если a=0,3м, b=0,2м, R=0,2 м, r=0,15 м, P=6 кН. Допускаемые напряжения на растяжение и сжатие [σ]= 170 МПа.
Решение. Из условий равновесия определим радиальную силу F и составляющие реакций.
Рис. 4.3
∑ m X (FK): Fr ─ P R =0,
∑ m Z (FK): YB (a+b) ─ P (a+2b)=0,
∑ m Y (FK): ZB(a+b) ─ Fa=0,
∑ FZK: ZA + ZB ─F =0,
∑ F Y K: YA + YB ─P =0,
F=8 кН, ZA=3,2 кН, ZB =4,8 кН, YA =2,4 кН, YB =8.4 кН
Эпюры крутящего и изгибающих моментов показаны на рис. 4.4.
Рис. 4.4
Опасным будет сечение С (рис. 4.4, 4.5), в котором возникают наибольший изгибающий и крутящий моменты.
M Z =YA a=0,72 кН м, MY=ZA a= 0.96 кН м, MК=Р R= 1,2 кН м
Наиболее опасными в этом сечении являются периферийные точки 1 и 2, лежащие в плоскости действия суммарного изгибающего момента М :
М
=√
M Z2
+ MY2
Нормальные напряжения в т. 1:
σ= M / W ; W =π D3/32 ≈ 0,1 D3 (а)
где W ─ осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения.
Рис. 4.5
Касательные напряжения:
τ= МК / Wρ; Wρ =π D3/16 ≈ 0,2 D3=2W (б)
где Wρ ─ полярный момент сопротивления.
На площадках параллельных наружной поверхности и на самой наружной поверхности вала напряжения равны нулю и реализуется плоское напряженное состояние.
Согласно (4.2):
τα=σ sin2α/2 ─ τ cos2α
Максимальные касательные напряжения
τmax*=(σ sin2α*─ 2 τ cos2α*) /2 (в)
действуют на площадках, для которых угол α определим согласно (4.3):
tg 2α*= σ/2τ (г)
Согласно (а, б):
σЭКВ= 2 τmax*= (М sin2α*+ МК cos2α*) / 0,1 D3
Из условия прочности:
σЭКВ≤ [σ] (д)
σЭКВ= (М sin2α*+ МК cos2α*) / 0,1 D3 ≤ [σ]
Тогда D3 ≥ (М sin2α*+ МК cos2α*) / 0,1[σ]
Для нашего примера МИ= 1,2 кН м, tg 2α*= 1, 2α*= π/4
D3≥ 105 мм3
Тот же ответ можно получить, используя обозначения:
σЭКВ2= σ2+ 4 τ2, sin2α*= σ / σЭКВ, cos2α*= 2τ/ σЭКВ
или
МЭ2= М2+ МК2, sin2α*= М/ МЭ cos2α*= МК/ МЭ
σЭКВ= МЭ / 0,1 D3
Из условия прочности:
σЭКВ= МЭ / 0,1 D3≤ [σ] или
D3≥ МЭ / 0,1[σ]
здесь МЭ=1,7 кН м, D3≥ 105 мм3
или D ≥ 47 мм