Метод бісекції
Нехай
[a,b]
- відрізок локалізації. Припустимо, що
функція f(x) безперервна на [a,b] і на кінцях
приймає значення різних знаків
.
Алгоритм методу бисекции полягає в побудові послідовності вкладених відрізків, на кінцях яких функція приймає значення різних знаків. Кожен наступний відрізок отримують розподілом навпіл попереднього.
Критерій
закінчення ітераційного
процесу:
якщо довжина відрізка локалізації менше
,
то ітерації припиняють і як значення
кореня з заданою точністю приймають
середину відрізка.
Приклад 2.3. Рішення рівняння методом бісекції. Для цього необхідно виконати наступну послідовність операцій:
function ex2 % Розв’язати рівняння f(x)=0, де f(x)= x^3 - cos(x) + 1 методом бісекції
% Введемо функцію f(x) f = inline('x.^3 - cos(x) + 1'); root1 = bisec(f, -0.6, -0.4) root2 = bisec(f, -0.2, 0.2)
% Метод бісекції function center = bisec(f, left, right) % Класичний метод бісекції з наближенням 2 eps while right - left > eps * 2 center = (right - left) / 2 + left; if f(center) * f(left) > 0 left = center; else right = center; end end
>> root1 = -0.4901
root2 = -1.0537e-008
Метод Ньютона (метод дотичних)
Розрахункова формула методу Ньютона має вигляд:
.
Геометрично
метод Ньютона означає, що наступне
наближення до кореня
є точка перетинання з віссю ОХ дотичної,
проведеної до графіка функції
в точці (
.
Критерій
закінчення ітераційного процесу.
При заданій точності
обчислення варто вести доти поки не
виявиться виконаним нерівність
.
Приклад 2.4. Розв’язати рівняння методом Ньютона.
function ex3 % Розв’язати рівнянняf(x)=0, где где f(x)= x^3 - cos(x) + 1 методом Ньютона
% Введемо функцію f(x) f = inline('x.^3 - cos(x) + 1'); % Її похідна df = inline('3*x.^2 + sin(x)'); root1 = newton(f, df, -0.5); % Перевіримо корні f(root1) root2 = newton(f, df, -0.1); f(root2)
% Метод Ньютона function root = newton(f, df, x0) root = x0 - f(x0) / df(x0); old_root = x0; while abs(old_root - root) > 2 * eps t = old_root; old_root = root; root = t - f(t) / df(t); end
>> ans = -9.5740e-005
ans = 8.3665e-004
Метод Ньютона має локальну збіжність, тобто областю його збіжності є малий окіл кореня . Невдалий вибір може дати розбіжну ітераційну послідовність.
Метод простої ітерації (метод послідовних повторень)
Для
застосування методу простої ітерації
слід вихідне рівняння
перетворити
до виду, зручному для ітерації
.
Це перетворення можна виконати різними
способами. Функція
називається ітераційною функцією.
Розрахункова формула методу простої
ітерації має вигляд:
.
Теорема
про збіжність методу простої ітерації.
Нехай у якійсь
-
околиці кореня
функцію
можна диференціювати і вона задовольняє
нерівності
,
де
- постійна . Тоді незалежно від вибору
початкового наближення з зазначеної
-
околиці ітераційна послідовність не
виходить з цієї околиці, метод сходиться
зі швидкістю геометричної послідовності
і справедлива оцінка погрішності:
,
.
Критерій
закінчення ітераційного процесу.
При заданій точності
обчислення слід вести доти поки не
виявиться виконаним нерівність
.
Якщо величина
,
то можна використовувати більш простий
критерій закінчення ітерацій:
.
Ключовий
момент у застосуванні методу простої
ітерації складається в еквівалентному
перетворенні рівняння
.
Спосіб, при якому виконана умова збіжності
методу простої ітерації, полягає в
наступному: вихідне рівняння приводиться
до виду
.
Припустимо додатково, що похідна
знакопостоянна і
на
відрізку [a,b]. Тоді при виборі ітераційного
параметра
метод сходиться і значення
.
Приклад 2.5. Розв’язати рівняння методом ітерацій.
function ex5 % Розв’язати рівняння f(x)=0, где где f(x)= x^2 - 3*x + 3.25 - 5*cos(x) методом простої їітераці
% Введемо функцію f(x) f = inline('x.^2 - 3*x +3.25 - 5*cos(x)'); % Побудуємо графік функції на відрізку [-1,1] x = linspace(-1,1,100); % Вісі з градуіровкою figure('Name', '[-1,1]'); axes('NextPlot', 'Add'); grid on plot(x, f(x));
% Призведемо рівняння к вигляду g(x)=x g = inline('(x.^2 - 5 * cos(x) + 3.25) / 3'); % Початкове наближення x0 = -0.4; % Виконаємо 100 шагів методу for i = 1:100 x0 = g(x0); end f(x0)
>> ans = 5.7730e-007
У разі виконання цієї програми отримаємо графік, який представлений на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Графічний аналіз отриманих результатів