4. Питання для захисту роботи

1. Постановка задачі наближеного рішення рівнянь і основні етапи  її рішення.

2. Поняття про інтервал ізоляції кореня.

3. Суть методу бісекції (половинного ділення)

4. Доведіть оцінку погрішності методу бісекцій.

5. Запишіть розрахункову формулу методу Ньютона і дайте геометричну інтерпретацію методу

6. Що таке ітераційна функція ?

7. Виведете критерій закінчення ітерацій для методу простої ітерації з оцінки погрішності.

4. Варіанти для самостійної роботи

Обчислити з наближенням найбільший корінь рівняння методами:

• бісекції (половинного ділення)

• Ньютона (дотичних)

• простої ітерації

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

3. Лабораторна практична робота №3

Чисельне диференціювання та інтегрування функцій

3.1. Мета роботи

Ознайомлення з чисельними методами обчислення визначених інтегралів, рішення задач з використанням Сімпсона, трапецій, правих и лівих прямокутників.

3.2. Порядок виконання роботи

1. Вивчити теоретичну частину (лекційний матеріал) : формули для обчислення визначенних інтегралів за допомогою формули прямокутників, трапецій, Сімпсона. Виконати завдання, що відповідають номерові Вашого варіанта.

2. Оформите звіт по лабораторній роботі, що повинний містити:

• Формулювання завдання (варіант завдання вибирається відповідно до номера в журналі).

• Роздруківку послідовності виконання команд у програмному середовищі MatLab, що відповідає своєму завданню.

• Результати виконання програми (у разі потреби варто привести проміжні результати, а також графіки)

• Висновки (інтерпритація отриманих результатів).

3.3. Методичні рекомендації

Задача чисельного інтегрування полягає в обчисленні визначеного інтеграла

(3.1)

у випадках, коли аналітичне обчислення неможливе або дуже складне. Методи чисельного обчислення інтеграла засновані на тому, що в якості наближеного значення інтеграла (3.1) береться значення інтеграла від інтерполюючої для функції, побудованої по точках розбиття відрізка .

Зі всіх методів обчислення визначених інтегралів найпростішим і у той же час достатньо успішно використовуваємим є метод трапеции.

Формула трапецій (кусково-лінійна апроксимація функції ):

В MATLAB для цього методу передбачена функция: trapz(x,y) (команда edit trapz дозволяє вивести текст цієї функції). Одновимірний масив х (вектор) содержит дискретні значення аргументів підінтегральноі функції. Значення підінтегральної функції в цих точках зосереджені в одновимірному масиві y. Частіше за все для інтегрування вибирають рівномірну сітку, тобто значення елементів масиву х відстоять один від одного на одну і ту ж величину - шаг інтегрування. Точність обчислення інтеграла залежить від величини шагу інтегрування: чим менше цей шаг, тим більше точність.

Приклад 3.1. Обчислити інтеграл методом трапеції з різними кроками інтегрування (для спостереження 14 десяткових цифр після коми потрібно попередньо ввести і виконати команду format long).

Програма:	Результат:
function t=trap(dx) x=0:dx:5; y=sin(x).*exp(-x); t=trapz(x,y);	>> format long >> trap(1) ans = 0.42255394026468 >> trap(0.1) ans = 0.50144886299125 >> trap(0.01) ans = 0.50226667654901 >> trap(0.001) ans = 0.50227485744814

Метод трапецій є дуже універсальним методом і добре підходить для інтегрування не надто гладких функцій. Якщо ж функція під знаком інтеграла є гладкою (існують і безперервні декілька перших похідних), то краще застосовувати методи інтегрування більш високих порядків точності. При одному і тому ж кроці інтегрування методи більш високих порядків точності досягають більш точних результатів. У системі МАТLАВ методи інтегрування більш високих порядків точноcті реалізуються функціями quad (метод Сімпсона) і quad8 (метод Ньютона-Котеса 8-го порядку точності).

Формула Сімпсона (кусково-квадратична інтерполяція функції ):

При цьому має бути обов'язково парним (число точок – непарним).

Як і багато інших функцій системи МАТLАВ, функції quad і quad8 можуть приймати різну кількість параметрів. Мінімальний формат виклику цих функцій включає три параметри: ім'я підінтегральної функції, нижня межа інтегрування і верхня межа інтегрування. Якщо використовується четвертий параметр, то він є необхідної відносною точністю результату обчислень. До речі, якщо обидві ці адаптивні функції не можуть забезпечити одержання необхідної точності (розходиться або близький до цього інтеграл), то вони повертають символічну нескінченність Inf.

Прослухати

Приклад 3. 2. Обчислити визначений інтеграл .

Програма:	Результат:
a1=sym('0'); b1=sym('2'); syms w t a b w=t^2; % 1 спосіб: робота з підстановкою символьних чисел symbol=int(w,'t',a,b) symbol2a=subs(symbol,[a,b],[a1,b1]) digits(20); number=vpa(symbol2a) % 2 спосіб: робота з символьними числами symbol2b=int(w,'t',a1,b1)	symbol = 1/3*b^3-1/3*a^3 symbol2a = 8/3 number = 2.6666666666666666667 symbol2b = 8/3

Приклад 3.3. Обчислити інтеграл

методом лівих та правих прямокутників, трапецій та Сімпсона.

Рішення: У командному вікні програмы МАТLAB наберемо наступні оператори:

>> f=inline('reallog(x)'); % завдання підінтегральної функції

>> a=3;

>> b=5;

>> N=100;

>> i=1:N;

>> dx=(b-a)/(N-1); % шаг інтегрування

>> x=a:dx:b; % обчислення координат вузлівв сітки

>> y=feval(f,x); % обчислення значень функції у вузлах сітки

% обчислення інтегралу методом правих прямокутників

>> m=2:N;

>> y1(m-1)=y(m);

>> Fr=sum(y1)*dx

Fr =

2.7565

% обчислення інтегралу методом лівих прямокутників

>> m=1:N-1;

>> y1(m)=y(m);

>> Fl=sum(y1)*dx

Fl =

2.7462

% обчислення інтегралу методом трапецій

>> s=0;

>> for i=2:N-1

s=s+y(i);

end;

>> Ft=(0.5*y(1)+s+0.5*y(N))*dx

Ft =

2.7513

% обчислення інтегралу методом Сімпсона

>> s=0;

>> for i=2:N-1

if i-2*ceil(i/2)==0

k=4;

else

k=2;

end;

s=s+k*y(i);

end;

>> Fs=(y(1)+s+y(N))*dx/3

Fs =

2.7405