§4. Использование обратной матрицы при решении задач на преобразование координат.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ вместо базиса B ={e₁, e₂,…, e_n} выбран новый базис B  ={e₁^, e₂^,…, e_n^}. Пусть x( x¹, x²,…, xⁿ)_B – координаты произвольного вектора x в первом базисе (назовём их старыми координатами), x(x¹, x²,…, xⁿ)_{B } – координаты этого же вектора во втором базисе (новые координаты). Требуется найти связь между этими координатами.

Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса по первому базису:

e ₁^ = с₁¹e₁ + с₁²e₂ +…+ с₁ⁿe_n ,

e₂^ = с₂¹e₁ + с₂²e₂ +…+ с₂ⁿe_n , (4)

. . . . . . . . . . . . . . . .

e_n^ = с_n¹e₁ + с_n²e₂ +…+ с_nⁿe_n .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

С = .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. С её помощью мы можем выписать, как старые координаты вектора выражаются через новые его координаты (т.е. обратную замену координат):

x¹ = с₁¹x¹ + с₂¹x² +…+ с_n¹xⁿ,

x² = с₁²x¹ + с₂²x² +…+ с_n²xⁿ, (5)

^{. . . . . . . . . . . . . . . .}

xⁿ = с₁ⁿx¹ + с₂ⁿx² +…+ с_nⁿxⁿ.

В матричном виде:

X = CX, (5)

где X и X – столбцы, составленные из старых и новых координат (координатные столбцы) вектора x . Из автоматически получаем формулы прямой замены координат:

X = C^1X. (6)

В развёрнутом виде эти формулы выглядят также, как и (5), только штрихи у координат стоят в левой части формул, а вместо элементов матрицы C используются элементы матрицы C^1.

Если по условию задачи нам известны старые координаты вектора x, то (5) представляет собой СЛУ, где новые координаты (x¹, x²,…, xⁿ) являются неизвестными, а ( x¹, x²,…, xⁿ) – это свободные члены. Равенство (6) – это решение (5) с помощью обратной матрицы.

Пример.

В пространстве вместо базиса B ={e₁, e₂, e₃} выбран новый базис B  ={e₁^, e₂^, e₃^}:

e₁^ = e₁ + 4e₂ + e₃,

e₂^ = – 4e₁ – 3e₂ + 2e₃,

e₃^ = 2e₁ – e₂ – 2e₃.

а) Записать формулы перехода от старых координат (x¹, x², x³) к новым координатам (x¹, x², x³) и обратно.

б) Найти новые координаты вектора a( , , )_{B }, если известны его старые координаты a(–7,–2, 5)_B .

Решение. Составим матрицу С перехода к новому базису. Её столбцы – это координатные столбцы векторов e₁^, e₂^, e₃^ в базисе {e₁, e₂, e₃}:

C =

Находим обратную к ней матрицу С^1:

С ^1=

Формулы замены координат выглядят так:

x¹ = x¹ – 4x² + 2x³, x¹ = 4x¹ – 2x² + 5x³,

x² = 4x¹ – 3x² – x³, x² = x¹ – 2x² + x³,

x³ = x¹ + 2x² – 2x³, x³ = x¹ – 3x² + x³,

При составлении первых мы использовали матрицу С, а при составлении вторых – матрицу С^–1. Подставляя координаты вектора a во вторые формулы, находим его координаты в новом базисе: a(1, 2, 0)_{B '} .

Можно подставить старые координаты (–7,–2, 5) в формулы обратной замены. Тогда мы получим СЛУ:

x¹ – 4x² + 2x³ = 7,

4x¹ – 3x² – x³ = 2,

x¹ + 2x² – 2x³ = 5,

из которой можно найти новые координаты вектора a. Поскольку по условию задачи всё равно следует выписать формулы прямой замены координат, проще воспользоваться именно этими формулами.