Лекция 9. Прямая линия на плоскости. Кривые второго порядка.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера.-М.:ЮНИТИ, 2009.-471 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера.-М.:ЮНИТИ, 2009.-423 с.

Цель лекции: рассмотреть следующие вопросы:

9.1 Прямая линия на плоскости [1,п.4.1.,с.95-96; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.2. Векторное уравнение прямой [1,п.4.1.,с.95-96; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.3. Общее уравнение прямой [1,п.4.1.,с.95-96; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом [1,п.4.2.,с.96-97; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.5. Уравнение прямой в отрезках [1,п.4.2.,с.99-100; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.6. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку [1,п.4.2.,с.99; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.7. Уравнение прямой, проходящее через две заданные точки [1,п.4.2.,с.99; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.8. Угол между двумя прямыми[1,п.4.3.,с.101; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.9. Условия параллельности и перпендикулярности дух прямых [1,п.4.3.,с.101-9102; 2, п.4.1.,с.94-104].

9.10. Кривые второго порядка [1,п.4.4.-4.5.,с.104-115; 2, п.4.2.,с.105-113].

9.11. Решение задач [1,п.4.6.,с.115-119; 2, п.4.2.,с.105-113].

9.1 Прямая линия на плоскости.

Пусть на плоскости задана, декартова система координат. В этой системе координат задана линия L и возьмём на ней точку М, если точка движется по линии, то её координаты изменяются. При этом между ними сохраняется некоторая функциональная зависимость (каждому х соответствует одно или несколько значений у). Эту зависимость между координатами точек линии удаётся выразить в виде равенства: (9.1)

Определение 9.1. Уравнение (9.1) называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек данной линии и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Определение 9.2. Линией называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (9.1).

Если левая часть уравнения (9.1) представляет собой многочлен, то линия называется алгебраической, а степень многочлена – порядком линии.

9 .2. Векторное уравнение прямой.

Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана прямая l, известна точка на этой прямой. Пусть дан любой вектор перпендикулярный прямой . Будем называть этот вектор нормальным вектором этой прямой с координатами .Пусть - произвольная точка, лежащая на прямой l. Тогда . И по условию перпендикулярности векторов (два вектора перпендикулярны только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю).

(9.2)

Т.к. , то (9.2) модно переписать в виде: - это есть векторное уравнение прямой, (9.2*) , где имеет координаты . Подставляя в (9.2*) координаты векторов, получим координатную форму уравнения прямой: (9.3)

9.3. Общее уравнение прямой и его исследование

Раскроем в уравнении (9.3) скобки:

Сгруппируем слагаемые и обозначив их получим: ; - получили общее уравнение прямой, (9.4), где А , В – координаты нормального вектора .

Исследуем уравнение :

1. Ни один из коэффициентов не равен нулю, тогда не перпендикулярен ни одной из осей координат. Значит, прямая, не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через точку , т.е. прямая общего положения.

2. Тогда уравнение примет вид:  прямая, проходит через начало координат.

3. прямая параллельна оси

4. прямая параллельна оси Ох.

5. - уравнение оси Ох.

6. - уравнение оси Оу.

7. уравнение теряет смысл.

8. уравнение обращается в тождество 0+0+0=0, т.е. не является прямой .

Утверждение: всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными x и y и обратно, всякое уравнение вида при любых действительных значениях коэффициентов A, B, C, кроме случая одновременного равенства нулю коэффициентов A и B, определяет прямую на плоскости.