Прямая на плоскости и кривые второго порядка

1. Даны вершины треугольника .

Найдите:

А) уравнение стороны :

Находится по формуле: .

Б ) уравнение высоты :

1. Написать уравнение прямой , проходящей через точки и , по формуле: .

2. Записать полученное уравнение в виде: .

3. Использовать условие перпендикулярности двух прямых и найти угловой коэффициент прямой: или .

4. Написать уравнение прямой: .

В) уравнение медианы :

1.Определить координаты точки середины вектора

: .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и , по формуле: .

Г) точку пересечения медианы и высоты :

Решить систему уравнений, составленных из уравнений прямых и

( см. п. Б и В).

Д) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне :

1. Записать уравнение прямой (см. п.А).

2. Записать его в виде .

3. Использовать условие параллельности двух прямых и найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой : .

4. Написать уравнение искомой прямой, проходящей через точку :

Е) расстояние от точки до прямой :

1. Выписать совместно уравнения прямых: и .

2. Найти решение полученной системы уравнений . Это координаты точки пересечения прямой и .

3. Найти длину отрезка по формуле: .

Алгоритм определения типа кривой второго порядка по заданному общему уравнению (выписать ее основные параметры).

1. Ознакомиться с каноническими уравнениями кривых второго порядка.

2. Выделить полные квадраты независимых переменных (используя формулы ).

3. Преобразовать уравнение к одному из следующих видов:

1) - эллипс;

2) - гипербола;

с) парабола:

4.Определить тип кривой, если уравнение привели к виду:

а) – эллипс; б) – гипербола; с) – парабола.

5.Выписать параметры кривой из ее уравнения.

Для эллипса и гиперболы:

а) полуоси ;

б) расстояние между фокусами , где - для эллипса (если - большая полуось) и (для гиперболы);

с) координаты центра симметрии.

Для параболы:

а) координаты вершины ;

б) координаты фокуса: .

Сравнительная таблица основных свойств, для кривых второго порядка

Кривая	Эллипс	Гипербола	Парабола
Каноническое уравнение
Параметры	- большая полуось; -малая полуось.	- действительная полуось; -мнимая полуось.	Параметр параболы
Фокусы
Эксцентри-ситет
Фокальные радиусы
Директрисы
Расстояние от точки кривой до директрисы
Свойства директрисы
Асимптоты	-		-
Касательная к кривой в точке