- •V Качество процессов регулирования
- •§1 Показатели качества в линейных системах
- •§2 Корневые методы оценки качества
- •§ 3. Частотные методы оценки качества
- •Максимум перерегулирования при невозрастающей вчх (рис.5)
- •4 Интегральные методы оценки качества.
- •§ 5. Оценка качества процессов регулирования в установившихся режимах
- •VII дискретные линейные системы автоматического регулирования
- •1.Классификация дискретных систем
- •3 Математическая модель реального импульсного элемента
- •§ 4. Теорема Котельникова.
- •5. Передаточные функции разомкнутых систем.
- •6. Передаточные функции замкнутых систем.
- •§8 Качество процессов регулирования в импульсных системах
§ 3. Частотные методы оценки качества
Используя преобразование Фурье можно установить связь между переходным процессом и частотными характеристиками системы. На этом основаны частотные методы оценки качества процессов регулирования.
Частотный метод позволяет оценить показатели переходного процесса, если заданы или экспериментально определены частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы. Вместе с тем частотный метод дает возможность построить переходный процесс без выявления корней.
А) Зависимость между переходной функцией n(t) и частотной характеристики замкнутой системы.
По формуле обратного преобразования Фурье:
(1).
Уравнение (1) определяет переходный процесс через частотные функции системы и внешнего воздействия x(t). Область применения выражения (1) ограничена (слово непонятное), когда y(t) является полностью интегрируемой функцией, т.е. удовлетворяет условию: . Это условие выполняется у всех устойчивых САР для свободной с переходной составляющей yсвоб(t) переходного процесса, который является затухающей функцией времени, а следовательно несобственный интеграл от неё является конечным (см § 3.1)
Рассмотрим определение с помощью частотных характеристик переходной функции где .
Согласно вышеизложенному формулой (1) можно выразить только свободную составляющую , функции h(t), т.к. в общем случае сама функция h(t) не является абсолютно интегрируемой.
Учитывая, что изображение является свободной составляющей hсвоб(t)
или
, где , т.к. Q(0)=0.
Принимая во внимание, что , получаем следующее выражение для ПФ:
(2).
Подставляя в уравнение (2) выражения:
и , будем иметь:
Учитывая, что h(t) является вещественной функцией, то два последних интеграла будут равны 0, тогда:
Учитывая, что второй интеграл называется интегральным синусом:
,
а также, то что подынтегральные функции двух других интегралов являются четными функциями ω будем иметь:
(3).
Учитывая, что функция при t<0 и подставляя в уравнение (3) вместо t, -t будем иметь:
(4).
Вычитая из уравнения (3) уравнение (4) получим соотношение между ПФ и ВЧХ замкнутой системы:
(5)
Складывая уравнения (3) и (4) получим соотношение между h(t) и МЧХ:
(6)
Уравнения (5) и (6) явно показывают, что характер переходного процесса зависит от частоты характеристик системы, находя производную выражения (5) по времени получим весовую функцию системы:
Б) Оценка качества переходного процесса по ВЧХ.
ВЧХ замкнутой системы обладают некоторыми свойствами, которые позволяют судить о качестве переходного процесса непосредственно по самой характеристике. Рассмотрим некоторые из них:
Начальное значение Р(0) зависит от того является ли система статической или астатической: ПФ разомкнутой статической системы может быть представлен в виде:
Где - общий коэффициент передачи разомкнутой системы Очевидно, что ,
тогда начальное значение ВЧХ:
Для астатической системы ПФ имеет вид , где - ПФ статической части системы, не имеющей астатических звеньев (интегрирующих), тогда для замкнутой системы:
Тогда начальное значение ВЧХ Р(0)=Ф(0)=1 т.о. ВЧХ статической САР имеет начальное значение <1, а ВЧХ астатической САР имеет начальную ординату всегда =1. (рис. 3.)
Рисунок 3
Установившееся значение переходного процесса.
Применяя теорему о конечном значении оригинала, будем иметь:
Начальное значение переходного процесса.
Применяя теорему о начальном значении оригинала получим:
Или после замены
Если у ПФ Ф(р): m<n , то , m<n, то , если m=n, то
Изменение масштаба по оси ординат.
Если изменить масштаб ВЧХ по оси ординат в n раз, то масштаб кривой переходного процесса изменится в тоже число раз. Действительно умножая обе части уравнения (5) на n будем иметь:
Это свойство показано на рис. 4 (а), (б)
рисунок 4
Изменение масштаба по оси абсцисс.
Если увеличить(уменьшить) в n раз масштаб аргумента ВЧХ, то масштаб аргумента кривой переходного процесса уменьшится(увеличится) в тоже число раз. Обозначим переходный процесс, обусловленный изменением масштаба аргумента ВЧХ в n раз через Вводя новую переменную получим:
Учитывая последнее равенство и уравнение (5) получаем или
Т.о. более широкому графику ВЧХ соответствует более быстрый переходный процесс, и наоборот. Это свойство показано на рис. 4 (в). Ему можно дать и физическое объяснение, если учесть .