§ 4. Теорема Котельникова.

Последовательность импульсов на выходе ПИЭ определяет непрерывный сигнал на его входе лишь в дискретные моменты времени. В промежутках между импульсами характер изменения сигналов остается неизвестным, поэтому при прохождении непрерывного сигнала через ПИЭ часть информации теряется. Однако существует класс таких сигналов, которые могут быть переданы последовательностью импульсов без искажений, т. е. по этой последовательности можно остановить непрерывный сигнал. Это сигналы с ограниченными спектрами, т. е. такие сигналы, у которых составляющая спектра , начиная с некоторой частоты (частота среза), обращается в 0.

В параграфе 3 было показано, что спектр выходной величины ПИЭ представляет собой сумму:

(1)

Заменим на , где k – целое число, тогда:

.

Введя новую переменную , получим:

.

Т.о.:

, (2)

где - частота следования импульсов.

Из соотношения (2) следует, что спектр выходной величины ПИЭ является периодической функцией по частоте, период этой функции равен частоте квантования .

Из свойства периодичности функции следует, что ее можно рассматривать только на интервале или, в силу симметрии, на интервале . Из формулы (2) также следует, что, если в спектре входного сигнала имеется частота , лежащая вне основного интервала , то эта частота будет представлена в спектре выходного сигнала с той же амплитудой, что и частота .

,

где k – целое число, такое, что . Т.о. ПИЭ осуществляет «перенос частот» в основную полосу .

Наглядно эти выводы можно проследить по рисунку 1. На рисунке 1(а) изображен спектр входного сигнала . Согласно соотношению 1 для построения спектра выходного сигнала ПИЭ необходимо сместить этот спектр вдоль оси частот на величины (n=1,2,3…), просуммировать и изменить масштаб вдоль оси ординат в Т раз.

Рисунок 1

Толстой линией выделена часть спектра , приходящаяся на интервал частот . В этих ………………????????????????????????…………………….. проявляется двойственность, характерная для преобразования Фурье.

Как известно, периодической функции времени соответствует дискретный (решетчатый) спектр. Решетчатой функции времени соответствует периодический спектр. В общем случае спектр отличается от спектра , т.е. эффект квантования по времени, осуществляемый ПИЭ, вносит искажения в квантуемый сигнал, т.е. квантование происходит с потерей информации. Для этого можно сравнить амплитуды частот и в спектре входного и выходного сигналов.

Выясним условия, при которых квантование по времени не приводит к потере информации. Как следует из построения (рисунок 1(б)), если спектр не ограничен, то всегда будут иметь место искажения. Поэтому предположим, что спектр ограничен, т.е. при , где - частота среза (рисунок 2(а)). Построение при , и показано на рисунке 2(б, в, г) соответственно.

Рисунок 2

При происходит наложение смещенных спектров входного сигнала, и в результате спектр в диапазоне отличается от спектра . При наложение смещенных спектров отсутствует, и в диапазоне спектры и по форме совпадают и отличаются лишь масштабом. Т. о. если непрерывная величина обладает ограниченным спектром εСw, с частотой среза w , то квантование её по времени с частотой w 2w не приводит к потере информации. Этот вывод составляет содержание теоремы Котельникова В. А. (1933 г)и лежит в основе импульсных способов передачи преобразования информации. Теорема Котельникова обосновывает возможность замены передачи непрерывного сигнала передачей дискретного сигнала без потери информации.

Выражение (3) может быть представлено в виде , откуда

Физический смысл этой теоремы определяется тем, что непрерывный сигнал, не содержащий в своем спектре частот выше w не может заметно изменится за промежуток времени равный половине периода наибольшей частоты w .