3 Математическая модель реального импульсного элемента

Для облегчения исследования импульсных систем их реальные импульсные элементы СИЭ заменяют математической моделью, которую представляют в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента ПИЭ и формирующего элемента ФЭ (рисунок 1). РИЭ=ПИЭ+ФЭ.

Рисунок 1.

Такую замену выполняют, осуществляя следующие условия: при одинаковых входных сигналах выходные сигналы РИЭ и математической модели должны быть одинаковы. Математическая модель РИЭ идеальна и не может быть реализована такими техническими средствами. Операция замены РИЭ мат. Моделью является только математическим приемом, позволяющим упростить математический аппарат исследования амплитудно-импульсных систем.

1. Простейший импульсный аппарат ПИЭ представляет собой обычный прерыватель (ключ) с периодом дискретности Т и преобразует непрерывный входной сигнал в кратковременные импульсы , площадь которого пропорциональна значению входного сигнала в дискретные моменты времени.

Работу такого элемента можно представить следующим образом: некоторый внутренний источник сигналов содержащийся в ПИЭ (рисунок 2а) генерирует бесконечную последовательность импульсов типа -функции, каждый из которых существует только в дискретный момент времени: 0, Т, 2Т,… (рисунок 2б)

Рисунок 2

Такой сигнал можно представить в виде суммы смещенных -импульсов:

Эта запись означает следующее. Поскольку аргументом в этой формуле является время t, то каждый импульс типа -функции возникает в дискретный момент времени: 0, Т, 2Т,…,nT и существует только в этот указанный момент времени. Во все остальные моменты времени, неравные данному, импульс отсутствует (сигнал типа -функции равен 0). Совокупность полученных таким образом импульсных сигналов записана в формуле в виде суммы смещенных -функций. В ПИЭ происходит умножение последовательности -функций на непрерывный входной сигнал (рисунок 2в). В результате на выходе ПИЭ имеет место сигнал следующего вида:

Учитывая, что суммирование производится по параметру n, выходной сигнал ПИЭ можно представить в форме:

Поскольку каждое слагаемое этой суммы отлично от 0 только в дискретные моменты времени nT (во все остальные моменты эти слагаемые равны нолю), целесообразно в функции непрерывный аргумент заменить на дискретный nT. В результате последнее выражение принимает вид:

Каждое слагаемое в этом выражении можно трактовать как - импульс, площадь которого изменена в раз. Только в этом существует формальное различие между функциями и (рис 2(в))

Условно сигнал изображён на рис 2(г) в виде стрелок различной длины. Каждая стрелка образуется как произведение импульсного сигнала типа - функции, возникающего в дискретный момент времени nT на значение входного сигнала в дискретный момент времени nT.

Поскольку операции умножения соответствует модулирование(изменение) сигналов, то ПИЭ можно рассматривать как импульсный модулятор, осуществляющий модулирование по площади последовательности - импульсов(рис 3)

Рисунок 3

Причём в качестве модулирующего сигнала в таком устройстве используется непрерывный входной сигнал .

Итак, сигнал на выходе ПИЭ представляет собой моделированную последовательность импульсов типа - функций возникающих в дискретный момент времени nT, площади которых равны значениям непрерывного входного сигнала в соответствующие дискретные моменты времени nT. Для уяснения последующего материала следует отметить, что обычное преобразование Лапласа сигнала совпадает с Z – преобразованием решётчатой функции входного сигнала ПИЭ. Действительно подвергнем выходной сигнал ПИЭ обычному преобразованию Лапласа:

Учитывая, что по теореме сдвига будем иметь:

Это выражение свидетельствует о том, что обычное изображение Лапласа выходного сигнала ПИЭ совпадает с дискретным изображением решетчатой функции входного сигнала данного элемента. Заменяя получаем:

Таким образом обычное изображение Лапласа выходного сигнала ПИЭ совпадает с Z – изображением дискретной функции входного сигнала.

Рассмотрим полученные математические зависимости в частотной области. Для этого воспользуемся рядом Фурье записанным в комплексной форме. Тогда немодулированную последовательность - импульсов можно представить в виде суммы гармоник(рис 4(а))

- угловая частота следования импульсов

Рисунок 4

В этом случае выходной сигнал ПИЭ будет представлен в следующем виде

Умножая обе части равенства на и выполняя интегрирование в интервале от 0 до получим:

Откуда следует

Таким образом дискретный сигнал представляет собой бесконечное число входных сигналов. На рисунке 4(б) представлена амплитудная характеристика(амплитудный спектр) входного непрерывного сигнала. Тогда подставляя в последнее выражение получим:

Из этого выражения видно, что амплитудный спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечную сумму спектров входного сигнала , смещённых вдоль оси абсцисс на величины .

2) Формирующий элемент.

ФЭ является непрерывным линейным устройством(звеном), которое формирует выходной импульсный сигнал совершенно идентичный по своим параметрам и форме сигналу на выходе РИЭ. Естественно, что для этого ПФ-ия формирующего элемента должна быть подобрана таким образом, чтобы реакция указанного элемента на модулированный - импульс представляла собой точно такой же импульс, как и на выходе РИЭ.

Определим ПФ-ию ФЭ в соответствии с принятой математической моделью РИЭ. При этом будем полагать, что в момент времени на вход ФЭ воздействует импульс (рис 5(а)).

Рисунок 5

На рисунке начало отсчёта переменной совмещено с моментом времени , то есть . Известно, что реакция линейного непрерывного звена на импульсный сигнал типа - функции есть весовая функция данного звена. Поэтому реакцию ФЭ на импульс можно представить(рис 5(б)) следующей формулой:

,

где - весовая функция.

Пусть k-й импульс на выходе РИЭ (рис 5(в)) описывается функцией формы . Учитывая изложенное выше требование к динамическим свойствам ФЭ, потребуем выполнение равенства:

Отсюда получаем условие, которому должна соответствовать весовая функция формир. ФЭ:

Последнее равенство позволяет определить ПФ-ию ФЭ:

Таким образом, чтобы определить необходимо, выполнить следующее:

- любой импульс РИЭ аппроксимировать аналитической функцией ;

- уменьшить ординаты этой функции в , где - значение непрерывного входного сигнала в рассматриваемый момент времени ;

- подвергнуть полученный в предыдущем пункте результат преобразования Лапласа.

Определим , если РИЭ формирует на выходе импульсы прямоугольной формы длительностью (рис 6).

Рисунок 6

Произвольный К-й импульс с РИЭ (рис. 6(б)) аппроксимируем суммой двух ступенчатых функций, сдвинутых во времени на Т и имеющие различные знаки.

.

Уменьшаем ординаты функции в раз, определяем весовую функцию ФЭ:

.

ПФ-я ФЭ:

.

Обычно коэффициент передачи РИЭ относят к ФЭ, считая, что коэффициент передачи ПИЭ равен 1. В связи с этим ПФ-я ФЭ:

РИЭ называют фиксатором, если он формирует прямоугольные импульсы, длительность которых равна периоду длительности Т, т. е. РИЭ является фиксатором, если =1. В этом случае ПФ-я фиксатора имеет вид:

. (4)

Реакция фиксатора на последовательность модулированных по площади -импульсов показана на рисунке 7. Как видно из рисунка фиксатор запоминает (фиксирует) величину площади каждого -импульса на период дискретности Т, т. е. до прихода следующего импульса. Во многих практических случаях, где необходимо преобразование дискретных данных в непрерывные, на выходе РИЭ перед непрерывной частью системы включают фиксатор, поскольку он позволяет приближенно решать задачу преобразования импульсного сигнала в непрерывный .

Рисунок 7

Для того, чтобы качественно оценить влияние эффекта квантования сигнала по динамику импульсной системы САР, рассмотрим частотные свойства фиксатора. Частотная ПФ-я в соответствии с уравнением (4) запишется в виде:

,

или в показательной форме:

,

откуда АЧХ фиксатора:

,

а ФЧХ:

.

Рисунок 8

Как видно из рисунка 8 фиксатор представляет собой фильтр низких частот, при этом, чем больше период дискретности Т, тем уже полоса пропускания и больше по абсолютной величине отрицательный фазовый сдвиг на всех частотах. Т. о. выбор большой величины Т может привести не только к существенному искажению сигналов в системе, но и к потери устойчивости в системе. Отсюда важной становится проблема выбора дискретной величины Т.