3 Лабораторна робота № 3

Прогнозування часових рядів на основі рівнянь регресії.

Мета роботи: Засвоїти технологію побудови регресійних моделей для

прогнозування часових рядів в середовищі Excel.

3.1. Теоретична частина.

Часовий ряд (ЧР) y(t) можно інтерпретувати у вигляді суми двох компонент – детермінованої складової f(t) і випадкового відхилення ε(t) /5,16/.

y(t) =f (t) + ε(t) ), (3.1)

де

y(t)-математична модель часового ряду,

t – порядковий номер елемента ЧР, t=1,2, 3 ... n; n – число елементівЧР.

В основі моделювання і прогнозування ЧР лежать операції ідентифікації (визначення) функцій f(t) і ε(t).

Функція f(t) повинна мати такий вигляд, щоб сума квадратів відхилень ε(t) була мінімальною, тобто

(3.2)

При побудові детермінованої та випадкової складових моделі ЧР спочатку визначають загальний вид функцій f(t) і ε(t), а потім – їх коефіцієнти.

Для визначення вида f(t) (іноді її називають трендом) частіше всього використовують наступні функції:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

де вираження (3.3) представляє собою поліном першого ступеню (лінійна залежність), (3.4) – поліном другого ступеню (параболічна залежність), а (3.5) – гіперболічна залежність.

Вид тренда можливо вибрати візуально по графічному відображенню y(t).

Допустимо, що графік y(t) має форму параболи. У цьому випадку приймається гіпотеза про параболічну залежність, тобто f(t) визначається по виразу (3.4). Тоді задача находження тренда формулюється наступним випадком: знайти значення коефіцієнтів а₀, а₁ і а₂ у відповідності з виразами: (3.2) і (3.4). Ця задача вирішується з використанням методу найменьших квадратів (МНК) та інструментальних засобів Excel.

Після оцінки коефіцієнтів проводять екстраполяцію детермінованої основи моделі. Під екстраполяцією розуміється процедура перенесення висновків, одержаних на ділянці спостереження, на явища, що знаходяться за межами цієї ділянки.

Допустимо, що відомі значення часового ряду f(t) в точках t₁<t₂<…,<t_n, що лежать в середені інтервала (t₁, t_n) області визначення Т.

Екстраполяція – процедура встановлення значень ряду в точках, що лежать за межами інтервалу (t₁, t_n). Екстраполяція дає точкову прогнозну оцінку, розрахунок якої здійснюється шляхом рішення знайденого рівняння регресії, f(t) для значення аргументу t_n+k, відповідного вимагаємому часу упередження t_n+k. Наприклад, для параболічного тренду точкова оцінка детермінованої частини прогнозу y( n+ k)

обчислюється наступним чином:

y_n+k=a_o+a₁t+a₂ (3.6)

Прогнозування випадкової компоненти (t) виконується методом авторегресії. Процесом авторегресії називається процес, значення якого у наступні моменти часу залежать від того ж значення у передуючі моменти часу:

(3.7)

(3.8)

де b1 – bm – коефіцієнти регресії;

m – порядок авторегресії, вираз (3.7) описує рівняння авторегресії першого порядку, а (3.8) – другого порядку;

u(t) – помилка авторегресії.

Розрахунок коефіцієнтів b1 – bm також проводиться методом найменьших квадратів.

Число змінних, які входять у модель авторегресії називають порядком авторегресії.

Вибір порядку авторегресії є одним з этапів побудови моделі авторегресії і представлений у відповідній літературі/5,16/. В цій роботі задається порядок авторегресії m=1.

Побудова прогнозуючої моделі часового ряду рекомендується проводити в три етапи:

-побудова детермінованої частини моделі ЧР;

-побудова стохастичної частини моделі;

-визначення повного прогнозу ЧР на основі результатів двох попередніх етапів.

Рекомендований час виконання роботи:

-для першого етапу – 2 години;

-для другого етапу – 2 години.