3.2. Метод множників Лагранжа.

Сутність методу полягає в перетворенні початкової задачі пошуку умовного екстремуму цільової функції на задачу знаходження безумовного екстремуму деякої відповідним чином побудованої функції Лангранжа.

Розв’язується загальна задача нелінійного програмування (3.1) – (3.2) за припущення, що система обмежень містить лише рівняння, а функції неперервні і диференційовані, тобто:

Розв’язувати задачу НЛП починаємо з побудови функції Лагранжа. Щоб побудувати функцію Лагранжа, вводимо сукупність змінних , які називаються множниками Лагранжа. Тоді функція Лагранжа набирає вигляду:

Для визначення безумовного екстремуму цієї функції ( згідно з необхідною умовою його існування) слід знайти частинні похідні від функції Лагранжа по всіх n+m змінних та .

Прирівнявши ці похідні до нуля, маємо таку систему рівнянь:

;

Будь-який розв’язок цієї системи визначає точку яка є екстремальною для цільової функції Z.

Приклад 3.1. Для виробництва двох видів продукції А і В використовуються два типи обмежених ресурсів. Прибуток від реалізації цих виробів є нелінійною функцією від обсягів виробництва. Вихідні дані щодо норм витрат ресурсів на одиницю продукції, запасу ресурсів у виробника, а також прибутку за одиницю продукції в табл. 3.1.

Таблиця 3.1.

Вихідні дані	Продукція А В		Запас ресурсів
Ресурси І П	І 4	3 2	9 6
Обсяг виробництва
Прибуток

За припущення, що запас ресурсів необхідно використати повністю, визначити обсяги виробництва продукції А і В, за яких сумарний прибуток від їх реалізації досягатиме екстремального значення.

Розв’язування.

Математична модель цієї задачі нелінійного програмування така:

за умов

Для знаходження точки умовного екстремуму цільової функції побудуємо функцію Лагранжа:

Знайдемо частинні похідні від цієї функції за всіма невідомими параметрами:

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо:

Отже, точка екстремуму для функції сумарного прибутку Z є , яка визначає обсяги виробництва продукції А і В у кількості відповідно 0,6 та 2,1 одиниці.

Для визначення типу екстремуму (Z_max або Z_min) необхідно дослідити другу похідну функції Лагранжа в стандартній точці , що виходить за межі розв’язування цієї задачі.

Приклад 3.2. Знайти оптимальне рішення нелінійної задачі методом множників Лагранжа.

при обмеженні .

Складемо функцію Лагранжа:

Візьмемо похідні від функції Лагранжа:

Отримали три рівняння з трьома невідомими, з яких з третього рівняння випливає:

X₁=8–X₂ (3.3)

Підставляємо (3.3) у перше рівняння і вирішуємо далі сумісно з другим:

Таким чином, отримуємо оптимальне значення функції мети:

,

при обмеженні .

Після цього досліджують оптимум на мінімум та максимум. Для цього збільшуємо та зменшуємо змінну :

1. Але ми повинні врахувати обмеження (8.3), з якого випливає . Тоді — функція мети збільшилась.

2. З врахуванням обмеження (8.3) отримуємо і тоді — функція мети збільшилась.

Тоді робимо висновок: у точці ; отриманий мінімум функції мети і остаточно

.