Интегральное исчисление
1. Первообразная функция
Определение: Функция
называется первообразной функцией
для функции
на отрезке [a, b],
если в любой точке этого отрезка верно
равенство:
.
Например,
для
первообразная
,
так как
для
первообразная
,
так как
для
первообразная
,
так как
.
Теорема. Каждая функция, непрерывная на промежутке, имеет множество первообразных. Они отличаются друг от друга на некоторое постоянное число:
.
Геометрически, в системе координат хОу, графики всех первообразных функций от данной функции представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра С, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвина вдоль Оу
2. Неопределенный интеграл
Определение: Неопределенным интегралом функции называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
.
Записывают:
, (1)
где
- первообразная функции
на промежутке Х; знак
называется
интегралом.
Приняты следующие термины:
- подынтегральная функция;
- подынтегральное выражение;
- переменная интегрирования;
- постоянная интегрирования.
Наличие в этой формуле произвольной
постоянной величины
объясняет, почему интеграл
называется неопределенным.
Равенство (1) дает самый общий вид первообразной функции.
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Основная теорема интегрального исчисления. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то во всех точках этого отрезка она имеет первообразную, которая на этом отрезке также непрерывна.
Основная задача интегрального исчисления заключается в следующем: для функции найти функцию такую, что . Процесс нахождения первообразной функции для заданной функции (или, что то же, восстановление функции по ее производной) называется интегрированием. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Для проверки, правильно ли найден интеграл, полученный результат дифференцируют (должны получить подынтегральную функцию).
Пример:
,
так как
3. Свойства неопределенного интеграла
Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства:
1. Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
,
т. е. знак дифференциала d и знак интеграла , когда первый помещен перед вторым, взаимно погашаются (иногда говорят: взаимно сокращаются или взаимно уничтожаются).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть
т. е. знаки d и , взаимно погашаются также и тогда, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к нужно прибавить произвольную постоянную.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть
где
–
некоторые функции от
.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
,
где
- постоянный множитель (константа)
6. свойство инвариантности: Вид
формулы интегрирования не изменяется
(остается инвариантным), если независимый
аргумент
заменить дифференцируемой функцией
:
Примеры
1.
Используя правило интегрирования алгебраической суммы (свойство 4), получим:
Для суммы интегралов пишут лишь одну постоянную интегрирования.
2. Для того, чтобы применить свойство инвариантности, нужно так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид подынтегрального выражения известного интеграла. Например:
.
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства, выражения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.