7. Интегрирование рациональных функций

7.1 Интегрирование рациональных дробей

Дробь

называется рациональной, если ее числитель и знаменатель — многочлены (предполагается, что коэффициенты многочленов действительные числа).

Дробь называется правильной, если степень многочлена , находящегося в числителе, меньше, чем степень многочлена , находящегося в знаменателе.

Если же степень числителя равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.

Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов. Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Перечислим этапы интегрирования рациональных дробей:

1) если дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь.

2) знаменатель дроби разложить на линейные множители (содержащие действительные корни многочлена) и квадратичные множители (содержащие комплексные корни многочлена) с действительными коэффициентами. Любой многочлен с действительными коэффициентами, согласно основной теореме алгебры, может быть представлен в таком виде:

P(x) = (x - a)^…(x - b)^ …(x² + px + q)^…(x² + rx + s)^

где … - кратность корней (показывает, сколько раз тот или иной множитель входит в приведенное разложение многочлена на множители).

Примечание: квадратичные множители, входящие в эту формулу, не имеют действительных корней и на множители первой степени с действительными коэффициентами не разлагаются.

3) правильную рациональную дробь разложить ее на элементарные (простейшие) дроби, согласно приведенной ниже теореме.

Теорема (о разложении рациональной дроби на простейшие): Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей, то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины. В эту схему для каждого множителя в разложении знаменателя вписывается столько элементарных слагаемых дробей, какова его кратность (, , , , …)

Знаменателями элементарных дробей являются все целые степени каждого множителя в разложении , начиная с первой степени и заканчивая той степенью, которую множитель имеет в разложении .

Числителями элементарных дробей служат либо постоянные , , либо линейные функции , …, смотря по тому, является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной или квадратичной функции.

4) найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i.

5) подставить найденные значения коэффициентов в схему разложения и найти интегралы от целой части и простейших дробей.

Рассмотрим два наиболее распространенных способа определения коэффициентов, стоящих в числителях тех простейших дробей, на которые разлагается данная рациональная дробь. Это метод неопределенных коэффициентов и способ задания частных значений.

Пример: Разложить на простейшие дроби рациональную двумя способами.

Данная дробь – правильная. Общий вид ее разложения будет таким:

.

Умножим обе части этого равенства на знаменатель левой части:

(*)

Найдем неопределенные коэффициенты A_i

1 способ (наиболее общий):

Применим метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем: для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях .

В правой части (*) произведем умножение двучленов и по­лучим:

.

Это равенство можно переписать иначе, расположив многочлен в правой части по убывающим степеням :

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему четырех уравнений первой степени с четырьмя неизвестными:

Решив эту систему, получим:

, , , .