- •Интегральное исчисление
- •1. Первообразная функция
- •2. Неопределенный интеграл
- •3. Свойства неопределенного интеграла
- •4. Таблица основных интегралов
- •5. Методы интегрирования
- •5.1 Непосредственное интегрирование
- •5.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •Алгоритм применения метода подведения под знак дифференциала:
- •5.3 Метод замены переменных (способ подстановки)
- •5.4 Метод интегрирования по частям
- •6. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •7. Интегрирование рациональных функций
- •7.1 Интегрирование рациональных дробей
- •2 Способ (способ задания частных значений):
- •7.2 Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •9. «Неберущиеся» интегралы
5.3 Метод замены переменных (способ подстановки)
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
.
Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
.
По свойству неопределенного интеграла: ,
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Укажем два правила подстановки.
I правило подстановки основано на применении формулы
.
Здесь функция заменяется новой переменной .
Этот метод подробно рассмотрен как метод подведения под знак дифференциала в предыдущем параграфе.
II правило подстановки основано на применении формулы
.
Здесь, в отличие от предыдущего правила, сама независимая переменная заменяется новой функцией. То есть осуществляется операция «вывода функции из-под знака дифференциала».
Алгоритм его применения:
1) Независимую переменную заменяют удачно подобранной функцией по формуле:
. (3)
где — дифференцируемая функция.
Заметим, что функция в (3) должна иметь обратную. Это необходимо для того, чтобы из подстановки (3) можно было определить как функцию .
2) После этого определяют , а интеграл приводят к виду . Цель подстановки будет достигнута, если окажется, что вычисление этого интеграла проще, чем исходного.
3) Вычисляют получившийся интеграл. В результате интегрирования получится функция независимой переменной .
4) Результат выражают через первоначальную переменную . Чтобы возвратиться к переменной , надо из уравнения (3) определить через и подставить это значение вместо в найденную функцию.
Общего правила, которое указывало бы, как выбрать функцию в (3), не существует. Умение выбрать эту функцию достигается опытом. Однако для многих типов интегралов подстановка (3) известна.
Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной:
а) если подынтегральная функция содержит , то бывает полезна тригонометрическая подстановка . При этом:
;
б) если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . При этом:
.
в) если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . При этом:
.
г) если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . Такая подстановка позволяет рационализировать функцию (свести к рациональной).
.
Тогда
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Примеры: вычислить интегралы.
1)
.
Вернемся к исходной переменной. Для этого выразим и через .
.
Поскольку ,
то и ,
откуда .
Таким образом,
.
2)
.
Выразим интеграл через исходную переменную, учитывая, что . Удобно воспользоваться прямоугольным треугольником с острым углом , противолежащим катетом и прилежащим катетом, равным (см. рис)
Из рисунка, гипотенуза данного треугольника равна , а . Тогда искомый интеграл равен:
.
3)
.
4)
.
5)
.