3. По разложению вектора запишите его координаты и вычислите модуль:

4. Вычислить координаты и длины векторов и :

5. При каком значении р векторы коллинеарны:

{-1; 3; р} и {р; -6; -4}

{-1; р; 1} и {р; -9; 3}

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение: Скалярным произведение двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором:

Свойства скалярного произведения

1. ;

1. ;

1. ;

1.  скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины;

1.  скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они взаимно перпендикулярны.

Выражение скалярного произведения через координаты

·
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Пусть заданы два вектора или, что то же самое ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, тогда скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат

Приложения скалярного произведения

Нахождение угла между векторами:

Пусть заданы два ненулевых вектора ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, тогда угол  между ними находится по формуле:

Отсюда следует условие перпендикулярности двух ненулевых векторов ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}:

Нахождение проекции вектора на заданное направление:

Нахождение проекции вектора ={a_x; a_y; a_z} на направление, заданное вектором ={b_x; b_y; b_z}, осуществляется по формуле:

6. Найти скалярное произведение векторов:

{3; 4; 7} и {2; -5; 2} причём

{1; -2; 4} и {2; -3; -2} причём

7. Найти угол между векторами:

   {1; 1; 0} и {1; 0; 1}

   {2; 2; 0} и {-1; 0; 0}

8. Найти скалярное произведение векторов:

3; 4 и 120

2; 5 и 60

9. Найти и :

10. Вычислить:

{4; -2; -4} и {6; -3; 2}

{-1; 3; 5} и {2; -2; 4}

11. При каком значении р векторы перпендикулярны:

12. Вычислить:

3, 4 и 120

6, 1 и 60

13. Раскрыть скобки в выражении:

Задача В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(-1; 2; 3), B(3; -1; 0), C(1; 2; 1), D(-2; -3; 5). Найдите: координаты векторов ; длины рёбер AB, AС, AD; косинус угла между векторами и ; докажите, что векторы образуют линейно независимую систему; координаты вектора , где M и N – середины рёбер АD и ВС; соответственно; разложение вектора по базису .	Задача В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(0; -1; 4), B(-2; 2; 3), C(1; 3; -4), D(0; -2; 1). Найдите: координаты векторов ; длины рёбер AB, AС, AD; косинус угла между векторами и ; докажите, что векторы образуют линейно независимую систему; координаты вектора , где M и N – середины рёбер АD и ВС; соответственно; разложение вектора по базису .
Решение: Вычислим координаты векторов	Решение: Вычислим координаты векторов
Вычислим длины рёбер: Вычислим длину ребра АВ (или длину вектора ) Вычислим длину ребра АС (или длину вектора ) Вычислим длину ребра АD (или длину вектора )	Вычислим длины рёбер: Вычислим длину ребра АВ (или длину вектора ) Вычислим длину ребра АС (или длину вектора ) Вычислим длину ребра АD (или длину вектора )
Вычислим косинус угла между векторами и	Вычислим косинус угла между векторами и
Докажем, что координаты векторов образуют линейно независимую систему: Система векторов будет линейно независима тогда и только тогда, когда определитель, составленный из соответствующих координат этих векторов, отличен от нуля: ∆=-4≠0, следовательно, система векторов линейно независима.	Докажем, что координаты векторов образуют линейно независимую систему: Система векторов будет линейно независима тогда и только тогда, когда определитель, составленный из соответствующих координат этих векторов, отличен от нуля: ∆= ≠0, следовательно, система векторов линейно независима.
Вычислим координаты точек М и N, как середин рёбер АD и ВС соответственно: M(-1,5; -0,5; 4) N(2; 0,5; 0,5) Вычислим координаты вектора :	Вычислим координаты точек М и N, как середин рёбер АD и ВС соответственно: M( ; ; ) N( ; ; ) Вычислим координаты вектора :
Найдём разложение вектора по векторам базиса . Для этого решим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: или Решая, находим: Итак, разложение вектора по базису имеет вид: или координаты вектора в базисе есть	Найдём разложение вектора по векторам базиса . Для этого решим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными любым методом: Решая, находим: Итак, разложение вектора по базису имеет вид: или координаты вектора в базисе есть

3

практическое занятие № 6