Векторная алгебра. Векторное и смешанное произведения векторов._____________

Векторное произведение векторов и его свойства

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. перпендикулярен векторам и , то есть , и ;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, то есть;

, где

3. векторы , и взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Итак:

Свойства векторного произведения

1. - при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак;

1. ;

1. ;

1. ;

2. - векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Выражение векторного произведения через координаты


			-
	-
		-

Пусть заданы два вектора или, что то же самое ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, тогда векторное произведение векторов равно:

Приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов:

Пусть заданы два ненулевых вектора ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, тогда:

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, равна модулю векторного произведения:

2. Площадь треугольника, построенного на векторах ={a_x; a_y; a_z} и ={b_x; b_y; b_z}, равна половине площади параллелограмма и равна половине модуля векторного произведения:

1. Найти векторное произведение векторов (I способ):

{3; 4; 7} {2; -5; 2} { ; ; }

{1; -2; 4} {2; -3; -2} { ; ; }

2. Найти векторное произведение векторов (II способ):

   {-2; 1; 4} {0; -3; 5} { ; ; }

   {2; 0; -3} {1; 2; 4} { ; ; }

3. Найти векторное произведение векторов (III способ):

{1; -3; 5} {-4 2; 0} { ; ; }

{-3; 1; -1} {2; -2; 0} { ; ; }

4. Найти модуль векторного произведения векторов:

3; 4 и 120

2; 5 и 60

5. Вычислить:

{4; -2; -4} {6; -3; 2} – такая запись употребляется только для скалярного произведения;

{-1; 3; 5} {2; -2; 4} – такая запись употребляется только для скалярного произведения;

6. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах:

и , если 2; 5 и 150

и , если 1; 2 и 30

7. Вычислить модули:

3, 4 и 30

6, 1 и 150

8. Раскрыть скобки в выражении:

9. Вычислить площадь треугольника АВС:

A(7; 3; 4), B(1; 0; 6), C(4; 5; -2)

z

y

x

A(2; -2; 0), B(1; -3; 5), C(-2; 3; -1)

z

y

x

10. Вычислить площадь треугольника АВС и высоту ВD:

A(1; -2; 8), B(0; 0; 4), C(6; 2; 0)

A(1; -1; 0), B(2; -3; 2), C(-2; 3; -1)