7 Инт. Рациональных функций.
Рациональной фун. или дробью наз. отношение двух полиномов, R=P/Q, где .
Дробь R наз. правильной если , и она наз. неправильной если .
Простейшими наз.правильные дроби вида
.
Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.
Правило составления суммы: знаменатель разл. на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;
Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде
суммы , где целая часть(полином), а правильная дробь.
, где простейшие дроби.
Инт. от дроби находим по формуле
8 Инт. иррациональных функций
8.1 Инт. дробно-линейных иррац.
8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
1) p целое, 2) (m+1)/n целое, 3) (m+1)/n+p целое.
**8.3 Инт. кв. иррац., подстановки Эйлера
, =
9 Инт. тригон. выражений
9.1 , ; 9.2 , , , ;
9.3 , , , ; 9.4
пр. ,
Опред. интегралы
1. Опред.
2. Свойства ( лин., адд., монот.)
3. Т. о ср.знач.
4. Формула НьютонаЛейбница.
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
6. Замена переменной
7. Инт. по частям опред. интегралов.
1. Опр. Пусть f опред. и ограничена на отрезке [a, b],
разбиение [a, b], ,
ранг разбиения,
инт. сумма f,
предел инт. сумм,
определенным интегралом от f по [a, b] наз. число ,
если предел , при этом f наз. инт. по Риману.
Пример
Справедлива следующая
Т. Если f опред. и ограничена на отрезке [a, b], и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на [a, b].
2. Свойства
1) Лин.
2) Адд.
3) Монот. (1) ; (2)
3. Т. о ср.знач. f непр. на [a, b] c[a, b] : ,
наз. ср. знач. f на [a, b].
4. Формула НьютонаЛейбница Если f инт. на [a, b], и дифф. функция F на [a, b]: F'=f , тогда .
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
Если f непр. на [a, b], а , тогда
6. Замена переменной
Пусть f непр. на [a, b], непр. дифф. и на ,
,
если на ,
док. использовать формулу Н/Л
7. Инт. по частям опред. интегралов.
Приложения инт.
1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на [a, b], тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.
Т. Крив. трапеция измерима, и ее пл.
Пусть f непр. , ≥ 0 на и E соответствующий крив. сектор, тогда его пл.
пр. 1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды , , , пл. фигуры ограниченной кардиоидой.
2 Объем тел вращения, поперечные сечения
пр. объем 1) тора, 2) вокруг OX и OY, 3) эллипсоида
3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина
пр. центр масс полукруга
4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)
, ,
5 Пл. поверхности вращ. гл. кривой
6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина
Стат. моменты: , ;
центр масс: , ;
формулы Гульдина: , .
Пр. ЦМ полуокружности.
Несобственные инт.
1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.
Пр.
2 Признаки сх. и рсх.
2.1) Принцип Коши: сх
2.2)Пусть первообразная , сх существует
Пр.
2.3) Признак сравнения: если и сх.,
то сх.
2.4) Предельный признак сравнения: если и , то инт. и оба сх. или оба рсх.
2.5)Если сх., то сх. инт.
инт. наз. абс сх., обратное не верно!
3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.
4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.
DУ.
1 Задачи, которые приводят к DУ
2 Основ. понятия и определения.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл,
геометрическое толкование.
3 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
DУ с разделяющимися переменными
Однородные DУ1
Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера,
решение с помощью частных производных,
решение инт. параллельно координатным прямым
Инт. множитель зависящий от x или от y
4 Существование и единственность решения ЗК для DУ1
1. Опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.
Т.о. DУ1 имеет вид , его записывают в виде , где непр. в области , DУ2, разрешенное относительно y, имеет вид , где непр. в области .
Фун. наз. реш. DУ в , если
1) непр., 2) ,3) .
График реш. наз. инт. кривой, само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.
Пр.
Реш. DУ , график которого проходит через
: , наз. реш. ЗК с началом . ЗК записывают в виде . Семейство реш. наз. ОР в если , т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω.
Пр. y=(2(x−c)/3)3/2 дает ОР DУ в области y>0.
Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой. Пример: y=0 особое решение DУ y = y1/3
2. Сущ. и ед. решения DУ1. Рассмотрим 2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ в .
1 Т. Пусть 1) f непр. в и 2) fy ограничена в ,
сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .
Пример: ЛDУ1 , p и q непр. на [a, b].
2 Т. Пусть 1) −прямоугольник : x − x0 a, y−y0 b, 2) f непр. в и значит ограничена: ,
ИК , проходящая через и опред. в промежутке
x−x0 h=min(a, b/M ), если кроме того 3) fy ограничена в Ω, то ИК ед.
Пр. 1) y = x2 + y2 , y(0)=0, f(x, y)= x2 + y2 ; 2) y = y2 , y(0)=1, f(x, y)= y2
3. DУ1, решения которых сводится к интегралам
1 DУ с РП, пр.
2 ОDУ1, пр.
3 ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. y =2x(x2+y);
4 DУ Бернулли: , 0 и 1, метод Бернулли.
5 Уравн. в полных дифф. Пусть , уравн. наз. в ПD в если левая часть является полным дифференциалом некоторой фун. u двух переменных, т.е. u : , и тогда ОР имеет вид .
Пусть односвязная область в R2 , а M и N непр. дифф. в , тогда
будет полным дифференциалом т.и т.т. когда выполнено условие Эйлера: в
6 Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.
** DУ1, неразрешенные относительно y (схемы решений)
1. . Пусть α0 −корень уравнения , тогда y =0 ,
y=0 x+c, 0 =(y c)/x, а F((y c)/x)=0 −общий интеграл, все!
2. . Пусть ,тогда , найдем x: ,
, ; получили общий интеграл в парам. форме: , все!
Пр. y=( y )2 exp(y ).
3. . Пусть p=y ,тогда x=F(p), dy=pdx=pF(p)dp, y= pF(p)dp=(p)+c;общий интеграл: x=F(p), y= (p)+c, все!
Пр. 2y=x(1+( y)2 )1/2 .
4. . Пусть p= y, тогда y=F(x,p), dy=Fx dx+Fp dp=pdx ,
получили уравнение для x: , его решение (x, p, c)=0 вместе с y=F(x,p) дают решение исходного уравнения в парам. форме, все!
5. . Пусть p= y, тогда x=F(y,p), dy=pdx=pdF(y,p),
получили уравнение для y: M(y,p)dy+N(y,p)dp=0, его решение (y,p,c)=0 вместе с x=F(y,p) дает решение исходного уравнения, все!
Пр. xy−y+(1+( y)2 )1/2 =0, y=xy +(1+( y)2 )1/2 , y=xp +(1+p2 )1/2 ,
p=p+xp +pp(1+p2 )1/2 , ( x +p(1+p2 )1/2 ) p =0.
DУ2.
1. Определения. DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где f непр. в обл. . Реш. уравн. наз. фун. : , разумеется . ЗК заключается в отыскании решения , где , при этом должно быть опред. в некоторой окрест. т. x0 . ЗК записывают в виде . Два последних равенства наз. условиями Коши, т. наз. начальной.
Пусть через проходит ровно одна ИК . ОР наз. семейство решений , зависящее от двух параметров , для которого система разрешима относ. .
Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω
2 Сущ. и ед. решения. Т. Пусть 1) f непр. в Ω, 2) fy и fy огранич. в Ω ЗК в Ω имеет ед. реш.
Пр. 1) y +2 y = 0, Ω конечная область;
2) , p, q непр. на a, b ;
3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.
1) , имеем ,
2) , пусть z= y , тогда z = f(x, z ), это DУ1, решим его
z = (x, c1 ), теперь y = (x, c1 ), . Пр.
3) , пусть z= y , тогда ,
это DУ1, решим его z = (y, c1 ), теперь y = (y, c1 ), это DУ с РП, его решение: dy/ (y, c1 )=x + c2 плюс y= , где ( , c1 )=0.
Пр. 1) ; 2) ; 3) .
ЛDУ
1. Определения. Пусть n≥1, ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида
,
где функции непр. на [a,b]. Уравнение опред. в полосе, которая занимает (a,b) вдоль x , а y, y, … y(n−1) могут принимать любые значения.
Левую часть обозначим через , так что ЛDУ удобно записывать в виде . Уравн. наз. однородным если и неоднородным если
.
Пр. 1) −ЛНDУ1, можно решить по формуле ОР,
2) −ЛОDУ2, можно понизить порядок,
3) −это знаменитое уравнение Эри, решение которого можно представить с помощью степенного ряда.
Вид ЛDУ обеспечивает однозначную разрешимость ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2 это означает, что для любого набора
x0 (a,b), y0 , z0 R сущ. ед. решение y : y( x0 )= y0 , y( x0 )= z0 .
Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.
во всем интервале (a,b).
Введем понятие лин. завис. и незав. функций. Конечный набор функций наз. лин. завис., если сущ. числа 1, 2, …m , не все =0, такие, что , если сумма =0 лишь когда все i =0, то набор наз. лин. незав.
Т. Набор функций лин. зависим одна из функций равна лин. комбинация других: , при некотором j.
Примеры 1) − лин. независимые
2) − лин. зависимые
3) − лин. независимые
определитель Вронского набора функций.
Т. Набор лин. зависим
док: один из столбцов W = лин. комбинации других,
2. ЛОDУ (структура общего решения)
Рассмотрим однородное уравнения .
1. Множ. всех решений ЛОDУ образует лин. пространство: их можно складывать и умножать на числа как векторы. Это следует из лин. выражения :
2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x
док: допустим что x0 : , тогда столбцы в лин. зав., , рассмотрим решение ,
по теореме ед. y(x)=0 x ,что противоречит лин. незав., все!
3. Пусть решения уравнения , набор
лин. независимый W(x) 0 x.
4. Опред. ФСР ЛОDУn наз. лин. незав. набор из n его решений.
Пример − ФСР уравнения .
5. Для ЛОDУ n−го порядка сущ. ФСР .
док: n=2, берем x0 , y1 – решение ЗК с началом в точке (x0, 1, 0), а y2 – решение ЗК с началом в точке (x0, 0, 1), набор y1 , y2 – ФСР, т.к. W( x0 )=1.
6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.
док: всякая такая комбинация является решением, это следует из лин., любое решение ЗК реализуется в таком виде, это следует из того, что W(x) 0 x , все!
3. ЛОDУ2 с постоянными коэфф.
Рассмотрим уравн. , где p, q − действ. числа. Будем искать решение в виде y=exp(x) , подстановка дает кв. уравнение 2+p+q=0 , оно наз. характ. Пусть d=p2/4−q дискриминант
1) d>0: 1,2=−p/2 ± d1/2 −два действ. различных корня,
y1=exp(1x) и y2=exp(2x) образуют ФСР (доказать)
ОР y=c1 exp(1x)+c2 exp(2x) ;
2) d=0: 1=2=−p/2 −действ. корень крат. 2 , y1=exp(1x), покажем, что y2=xexp(1x) тоже решение:
L2(xex )=L2(dex /d)=dL2(ex )/d=d((2 +p+q)ex )/d=
(2 +p)ex +x(2 +p+q)ex =0 при =1 , y1 , y2 образуют ФСР (доказать)
ОР y=(c1 +c2 x)exp(1x) ;
3) d<0: 1,2=−p/2 ±i(−d)1/2 = ± iβ −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения z1,2=e(x± iβ)x=ex(cosβx±isinβx);
действ. решения y1 =ex cosβx , y2 =ex sinβx образуют ФСР (доказать)
ОР y= ex(c1 cosβx+c2 sinβx).
4. ЛНDУ
Рассмотрим неоднородное уравнения .
1. Теорема. ОР ЛНDУ имеет вид y=z+y0 , где z –ЧР ЛНDУ, а − ОР ЛОDУ .
2. Отыскание ЧР ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида
y +a y+b y = f(x), a, b R1 ;
2.1)
, где r крат. как корня характ. уравн.,
пр. y − y =x , y − y=x .
2.2)
, где r крат. как корня характ. уравн
пр. y +4y=cosx , y + y=sinx .
2.3)
, Uk , Vk полиномы степ. k=max(m, n).
2.4) Суперпозиция решений f = f1 + f2 , z1 –ЧР ЛНDУ f1 , а z2 f2
z= z1 + z2 f
3 Метод Лагранжа
Рассмотрим ЛНDУ2 .
ОР ЛОDУ2 y=c1y1+ c2y2 , где y1 ,y2 − ФСР.
Ищем решение НУ в виде
z=c1 (x)y1+ c2 (x)y2 , где c1(x), c2(x) подлежат определению,
дифференцируем z=c1 y1+c2 y2 + c1 y1 + c2 y2
полагаем c1 y1+c2 y2 =0, тогда z= c1 y1+c2 y2
дифференцируем еще раз z= c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2,
потребуем чтобы L2(z)= f(x):
c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2+p(x)(c1 y1+c2 y2 )+ q(x)(c1 y1+ c2 y2 )= f(x),
c1 y1+c2 y2 = f(x)
получили лин. систему c1 y1+c2 y2 =0, c1 y1+c2 y2 = f(x)
ее опред. W≠0, находим производные c1 и c2 ,
и после интегрирования функции c1 и c2 , а значит и z, все!
пр. .
СDУ. 1. Основные понятия и опред.
1. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида
...
где fi i1..n непр. в области Rn+1 . уравн. НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле уравн. вида
y(n)=f(x, y, y,…y(n1)) можно переделать в НСDУ.
Пр. y= f(x, y, y ): t=x, x1=y, x2=y x1=x2 , x2= f(t, x1 ,x2 ).
2. Решением СDУ наз. набор фун. 1,2,…n , опред. на интервале
( , β) : k(t)=fk (t, 1 (t), 2 (t),… n (t)) t( , β) k1..n
3. Удобно записывать НСDУ в векторной форме: , где
, , , решение СDУ будет векторная функция = (1,…n ): (t)=f (t, (t)) t( , β)
4. ЗК для СDУ записывается в виде X=f(t, X), X(t0)=X0 , т. (t0 , X0 ) наз. начальной. ОР наз. семейство решений , зависящее от n констант, за счет выбора которых можно решить ЗК с началом в любой т. из Ω.
2 Сущ. и ед. решения НСDУ
Пусть 1) все фун. непр. в Ω , 2) все ЧП огранич. в Ω ,
тогда сущ. ед. решение ЗК с началом в любой т. из Ω.
3 Метод исключения
Для определенности рассмотрим систему из 2-х уравнений
,
Берем 1-е уравн. и дифф. его
.
В результате получаем систему
исключаем x2 и получаем DУ2 относительно x1 .
Пр.
окончание 2-го семестра
****************************************************************************
** Дв. инт. 1. Определения.
Пусть f опред. и огранич. на прямоуг. A R2 , разбиение A на n прямоуг., их пл. и диаметры = , в прямоуг. выберем т. и образуем инт. сумму Римана: .
Введем ранг: и опред. предел сумм: если : для которого выполняется неравенство незав. от выбора .
Дв. инт. от f по A наз. число , если предел , при этом f наз. инт. по A.
Нам понадобится понятие нулевой пл., E R2 имеет нулевую пл. если его можно покрыть конеч. числом прямоуг., сумма пл. которых сколь угодно мала. Пр.: график непр. функции на отрезке, кусочно-гл. кривая. Дост. признак инт.:
пусть E A имеет нулевую пл., а f непр. в A – E, тогда f инт. по A .
Опред. Множ. D R2 наз. допуст. если оно ограничено, замкнуто и его граница имеет нулевую пл.
Определим дв. инт. по допуст. множ. Пусть f непр. на допуст. множ. D , тогда прямоуг. A D,
опред. : , ,
она инт. по A, ее т. разрыва имеют нулевую пл., положим по опред.
Пр. , по опред.
Замеч.: если f ≥ 0, то инт. суммы = объему ступенчатых тел, предел таких сумм, если он наз. объемом подграфика f.
Пр. объем 1/2 шара.
2. Свойства
1 Лин.
2 Адд. Пусть D разд. кусочно-гл. кривой на 2 части
3 Монот. 1) , 2) 3)
4 Т. о ср. знач. f непр. на D , наз. ср. знач. f на D.
Пр. , ср. знач. =2/3.
3. Вычисление
1 Повторные инт., это конструкции вида
Пр.
2 Прав. допуст. множ. Пусть непр. на [a,b], и D часть плоскости ограниченная этими графиками. Множ. D допуст. и оно наз. прав. вдоль OY.
Пр. − верхний полукруг, оно прав. вдоль OY: , и вдоль OX:
3 Т. Фубини. Пусть множ. D прав. вдоль OY, опред. , а f непр. в D, тогда
Пр.
4. Приложение
1 Объем и масса. Если f ≥0 и непр. на допуст. множ. D, то ее подграфик Ω наз. цилиндр. телом и его объем , если f плот., то инт. дает массу пластины, если f=1, то инт. дает площадь .
2 Стат. моменты и центр масс плоской фигуры
, .
3 Моменты инерции плоской фигуры .
4 Пл. графика гл. функции .
5. Замена переменных
1 Схема замены
Пусть G и G' две плоские области, G отнесена к (x,y), а G' к (u,v), и они связаны соотношениями , которые опред. отображение Φ из G' в G : соответствует пара . Будем считать, что Φ удовлетворяет следующим условиям:
1) Φ вз.-одн: G' G ;
2) Φ гл.: непр. дифф., - матр. Якоби, - якобиан;
3) .
Формула замены в дв. инт.
Пусть 1) −допуст. множ., 2) f непр. в D, 3) и Φ(D')=D
Пр. .
2 Дв. инт. в поляр. координатах
Φ: , , ,
,
Пр. - часть кольца,
Инт. Пуассона
Т. . Докажем , что
1) Инт. сх.: дост. больших x ;
2) Пусть a>0, берем квадрат D(a)= [0,a]×[0,a] и преобразуем инт.
;
3) Рассмотрим части кругов в первой четверти, имеем
и ;
4) Выч. крайние инт. =
= ,
5) Переходим к пределу в неравенстве , , все.
Тр. инт. Опред.
Пусть f опред. и огранич. в паралл. A=[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3], -разбиение на n паралл., их объемы и диаметры = , в паралл. выберем т. и образуем инт. сумму . Введем ранг τ : и опред. предел инт. сумм: если как только незав. от
Тр. инт. от f по A наз. число если предел сущ., при этом f наз. инт. по A.
Далее, множ. имеет нулевой объем если его можно покрыть конеч. числом паралл., сумма объемов которых сколь угодно мала. Пр., график непр. функции двух переменных на ограниченном и замкнутом множ.,
кус-гл. поверхность имеют нулевой объем.
Признак инт.: если имеет нулевой объем, а f непр. в , то f инт. по A.
Далее, множ. наз. допуст. если оно ограничено, замкнуто и его граница имеет нулевой объем. Опред. тр. инт. по такому множ.
Пусть f непр. на допуст. множ. Ω , тогда параллелепипед A Ω , опред. : , , она инт. по A , ее точки разрыва имеют нулевой объем, положим по опред. .
Пр. ; -объем Ω по опред.
Свойства
1 Лин.
2 Адд. Пусть D разделена поверхностью на 2 части , тогда
3 Монот. 1) , 2) , 3)
4) Т. о ср. знач. Пусть f непр. на допуст. множ. Ω , тогда , наз. ср. знач. f на Ω.
Вычисление
1 Повторные инт. Это конструкции вида
или
Пр. 1)
2) ,
2 Прав. допуст. множ. Пусть фун. опред. и непр. на замкнутом и ограниченном множ. D с кус-гл. границей и на D. Множ. наз. прав. вдоль OZ .
3 Т. Фубини о сведении тр. инт. к повтор. Пусть множ. Ω прав. вдоль OZ, опред. фун. , а f непр. в Ω, тогда .
Пр.
Приведем еще одну конструкцию повтор. инт. к которому сводится тр. инт. Пусть Ω занимает вдоль Z отрезок [a,b] и сечения D(z) – допуст. множ., тогда , если внутренние дв. инт. по сечениям.
Приложение
1) Масса тела , объем
2) Стат. моменты и центр масс трехмерной фигуры
3) Моменты инерции трехмерной фигуры
Замена переменных
1 Схема замены. Пусть G и G’ две области в R3, G отнесена к (x,y,z), а G' к (u,v,w). Предположим, что G и G' связаны соотношениями, запишем их в виде , , , , они опред. отображение Φ:G' G
Будем считать, что Φ удовлетворяет следующим условиям:
1) Φ вз.-одн. ;
2) Φ гл., - матрица Якоби, - якобиан;
3) .
Формула замены переменных в тр. инт.
Пусть 1) - допуст. множ., 2) f непр. в Ω, 3) и Φ(Ω')=Ω
2 Тр. инт. в сферических координатах
Φ: ,
, ,
,
3 Тр. инт. в цилиндрических координатах
Φ: , ,
,
Пр. выч. инт. в сферических и цилиндрических координатах
,
Обозначим его через B , в сферических координатах:
в цилиндрических координатах:
DУ
1 Задачи, которые приводят к DУ
2 Основ. понятия и опред.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл,
геометрическое толкование.
3 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
DУ с разделяющимися переменными
Однородные DУ1
Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера,
решение с помощью частных производных,
решение инт. параллельно координатным прямым
Инт. множитель зависящий от x или от y
4 Сущ. и ед. решения ЗК для DУ1
5 DУ2
Основ. понятия. Вид, решение, ЗК, ОР, сущ. и ед. решения ЗК
Понижение порядка
ЛDУ. Основ. понятия и опред.
вид , однородные и неоднородные уравн.,
пр. 1) , 2) , 3)
сущ. и ед. решения ЗК (определено во всем интервале (a,b))
лин. завис. и незав. теорема о лин. завис.
Пр. 1) , 2) , 3)
опред. Вронского W(x)
Т. Набор лин. зависим
ЛОDУ
1. Множ. решений ЛОDУ образует лин. пространство
2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x
3. Пусть решения уравн. ,
набор лин. незав. W(x) 0 x.
4. Опред. ФСР ЛОDУn , пример −ФСР уравн. .
5. Для ЛОDУn сущ. ФСР .
6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.
ЛОDУ2 с пост. коэфф.
ЛНDУ
ОР, нахождение частного решения ЛНDУ2 с пост. коэфф.
Метод Лагранжа
СDУ
1 Основ понятия и опред. норм. форма, ЗК и ОР
2 Сущ. и ед. решения ЗК
3 Метод исключения