- •Введение
- •Методика и режим проведения лабораторных работ. Требование к отчету Методика проведения машинного эксперимента
- •Режим выполнения лабораторных работ
- •Содержание отчета
- •1. Лабораторная работа № 1 рекуррентные процедуры оценивания параметров сигнала по методу наименьших квадратов
- •Постановка задачи оценивания параметров сигнала
- •1.2. Основные соотношения метода наименьших квадратов
- •1.3. Исходные данные и результаты задачи оценивания
- •1.4. Задания
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа № 2 дискретный фильтр калмана
- •2.1. Постановка задачи фильтрации
- •2.2. Метод и процедуры Калмановской фильтрации
- •2.3. Процедура фильтрации со "старением " данных
- •2.4. Расширенный фильтр Калмана
- •Алгоритм адаптивной фильтрации
- •Задания
- •2.7. Контрольные вопросы.
- •Список литературы
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
2.2. Метод и процедуры Калмановской фильтрации
Итак, пусть поведение динамической системы описывается разностным уравнением
Yk+1 = ФkYk +Uk + Wk, (2.6)
где Yk, Uk и Wk – n-мерные векторы состояния, входных воздействий и случайных возмущений соответственно. В нашем случае для системы (2.1) n = 2.
Пусть над системой производятся скалярные наблюдения вида
zk = H Yk + vk . (2.7)
Кроме того, выполнены соотношения
M{Wk} = 0; M{vk} = 0;
M{Wk} =kk Qk; M{vk} =kk M{Wk } = 0.
Далее будем через иобозначать оценки вектора состоянияYk, полученные по измерениям z1, z2, …, zk и z1, z2, …, zk-1 соответственно.
Как известно [3, 4, 5], оптимальная в среднеквадратичном смысле оценка фильтрации вектора состоянияYk может быть получена по измерениям (2.7) с помощью дискретного фильтра Калмана (ФК), уравнения которого имеют вид
; (2.8)
; (2.9)
; (2.10)
; (2.11)
; (2.12)
; (2.13)
, (2.14)
где - ковариационная матрица ошибки оценки фильтрации. Для работы алгоритма необходимо задать начальные условия,, при этом предполагается, что
; ;
;
при всех k.
Кратко поясним смысл уравнений ФК. Процедура фильтрации действует по схеме "предсказание (экстраполяция) - коррекция предсказания" при обработке каждого измерения zk. Уравнения (2.8) и (2.9) определяют оценку экстраполяции и ковариационную матрицу ошибки этой оценкипри условии, что заданыи. Затем оценка фильтрацииполучается коррекцией оценки(уравнение 2.13). Корректирующий член учитывает новую информацию в виде невязки измерений, вычисляемой по (2.10). Полезно отметить, чтоCk из (2.11) есть дисперсия невязки измерения, т. е. иМатрицуKk, входящую в корректирующий член уравнения (2.13), часто называют весовой матрицей, матрицей передачи фильтра или матрицей коэффициентов усиления фильтра (в нашем случае динамической системы (2.1) и скалярных измерений это матрица размера 2*1).Таким образом, в уравнении коррекции (2.13) с соответствующим весом объединяются информация, заключенная в прошлых измерениях – z1, z2, …, zk-1, и информация, содержащаяся в новом измерении zk. Уравнение (2.14) определяет ковариационную матрицу Pk ошибки оценки фильтрации .
Таким образом, фильтр Калмана на каждом шаге обработки очередного наблюдения zk одновременно с вычислением оценки состояния определяет и меру ее точности, характеризуемую диагональными элементами ковариационной матрицы Pk. Отметим, что уравнения коррекции (2.10) - (2.14) лишь формой записи отличаются от уравнений рекуррентной процедуры МНК, приведенных в лабораторной работе №1. Более того, уравнения рекуррентного МНК являются частным случаем уравнений ФК при Фk = Ф = I, Uk = 0, Wk = 0 и Qk = 0 для всех k = 1, 2, …, N.
Фильтр Калмана можно рассматривать как обобщение рекуррентного МНК на случай, когда заданы динамические ограничения в виде уравнений модели (2.6). Тогда уравнения ФК можно получить [4] чисто алгебраическим путем, рассматривая задачу минимизации квадратичного функционала качества
, (2.15)
где Wj = Yj – ФjYj – Uj согласно уравнению (2.6) и - соответствующие весовые множители. Получаемые в результате такой минимизации оценки вектора состоянияY(tl) по измерениям z1, z2, …, zk являются при l < k оценками сглаживания, а при l = k - оценкой фильтрации .
Если процессы Wk, vk и начальная оценка имеют гауссовское распределение, то- наилучшая в среднеквадратичном смысле (несмещенная и с минимальной дисперсией) оценка состоянияYk.