2.3. Процедура фильтрации со "старением " данных

Важно подчеркнуть, что для оптимальности оценок фильтрации существенны многие из сделанных при постановке задачи предположений, в том числе явно не сформулированное, но подразумеваемое предположение об адекватности модельного описания динамической системы ее фактическому поведению. Далее рассматриваются два характерных вида ошибок модельного описания динамической системы. В первом случае ошибки вызваны неточностью в задании некоторых постоянных параметров рассматриваемой динамической системы (так называемая параметрическая неопределенность). Во втором случае допускается наличие неучтенного в модели импульсного входного воздействия неизвестной формы, продолжительности и момента появления. Если предположение об адекватности модельного описания динамической системы ее фактическому поведению не выполняется, то оценки, получаемые фильтром Калмана, вообще говоря, не будут оптимальными, более того, фактические ошибки фильтрацииe_k = -Y_k могут значительно превышать теоретически предсказанные, характеризуемые расчетной ковариационной матрицей P_k, и даже могут неограниченно возрастать. В этом случае говорят о расходимости процесса фильтрации.

В ряде случаев избавиться от этого нежелательного явления и обеспечить устойчивую работу фильтра при не очень больших ошибках в модельном описании динамической системы можно за счет применения относительно простых модификаций стандартной процедуры калмановской фильтрации. Одной из таких модификаций является приводимая здесь процедура фильтрации с так называемым "старением " данных. Вместо функционала J_k из (2.15) в этом случае минимизируют функционал следующего вида

. (2.16)

Здесь при каждом значении j вес текущего измерения (для последней суммы в (2.16) соответственно - вес динамического ограничения) в s раз больше, чем вес предыдущего (предполагается s > 1). Причем вес измерения с номером k масштабирован с учетом используемого значения СКО помехи наблюдения, т. е. приj = k. Как можно показать, переход от минимизации функционала J_k к минимизации функционала сопровождается в конечном итоге изменением лишь одного из уравнений ФК, а именно: уравнение (2.9) экстраполяции ковариационной матрицыP_k переходит в уравнение

.

Эта простая модификация уравнений ФК приводит, как легко видеть, при обработке текущего измерения z_k к увеличению матрицы и, следовательно, к увеличению коэффициентов усиления, а в конечном итоге к повышению относительного веса текущего измерения и, соответственно, к понижению относительного веса экстраполированной оценки , при получении которой использованы уравнения модели системы. Конечно, модифицированный ФК в сравнении со стандартным дает большие значения ковариационной матрицы ошибки оценки фильтрации, однако расчетные ошибки, характеризуемые этой матрицей, теперь уже, как правило, соответствуют фактическим ошибкам фильтрации.

Качество работы ФК определяется, с одной стороны, величиной  фактических  ошибок состояния e_k =- Y_k, а с другой - соответствием между ними и теоретически предсказанными ошибками. В лабораторной работе это соответствие проверяется покомпонентно, т.е. отдельно для e_k(1) и e_k(2). Теоретически для e_k() при k = 1, 2, …, N и  = 1, 2 должны выполняться соотношения M{e_k()} = 0 и , гдеP_k(, ) - диагональный элемент матрицы P_k, вычисляемой по уравнениям ФК. При анализе результатов машинного эксперимента иногда оказывается удобным перейти к нормированным ошибкам фильтрации и проверить выполнение соотношений и .

В тех случаях, когда необходимо сравнить результаты различных прогонов машинного эксперимента, целесообразно ввести интегральные для траектории динамической системы показатели качества работы фильтра. Такими показателями могут служить, например,

; (2.17)

. (2.18)

Очевидно, J₁() характеризует среднюю по траектории величину квадратичной абсолютной ошибки оценки, а J₂() - среднее по траектории соответствие фактических и теоретических ошибок фильтрации.