5. Задания

В лабораторной работе требуется для заданной динамической системы вида (2.1) исследовать работу процедур рекуррентной фильтрации путем проведения машинного эксперимента согласно приведенному далее перечню заданий. Следует отметить, что при выполнении любого из заданий доступна для анализа фактическая траектория системы, т.е. зависимость Y_k(1) и Y_k(2) от k.

  Задание 1

Исследовать работу линейного ФК при точно заданных параметрах модели динамической системы (2.1). Для этого проанализировать полученные в результате машинного эксперимента зависимости от времени k следующих переменных:

а) элементов матрицы коэффициентов усиления фильтра K_k(1) и K_k(2);

б) фактических ошибок оценивания e_k(1) и e_k(2);

в) элементов матрицы P_k, характеризующей теоретически предсказываемые ошибки оценивания: диагональных элементов P_k(1, 1) и P_k(2, 2) коэффициента корреляции ;

г) ошибок измерений v_k = z_k – Y_k(1) (сравнить их с фактическими ошибками фильтрации e_k(1) = - Y_k(1) из п. б.

Сравнить варианты: при Q_k = 0 и Q_k  0.

В следующих заданиях лабораторной работы целесообразно использовать переменные, указанные в п.п. б, в данного задания, для определения качества получаемых оценок фильтрации.

Задание 2 

Исследовать влияние на оценки неопределенности в задании значений некоторых из параметров модели движения. Для этого при обработке задать возмущенные значения одного из этих параметров. Сравнить фактические ошибки фильтрацииe_k(1) и e_k(2) с теоретически предсказанными.

Задание 3

Исследовать эффективность модификации стандартного ФК со "старением" данных в случае возмущений параметров динамической системы, использованных в задании 2. Сравнить результаты, полученные в данном задании и задании 2, в зависимости от значений параметра "старения" s. Использовать 3-4 значения этого параметра s = 1,1 – 1,4. При анализе результатов использовать показатели качества работы фильтра J₁() и J₂() из (2.17), (2.18).

Задание 4

При неточно заданном значении одного из параметров, m, f или k_f, динамической системы сравнить результаты работы стандартного ФК, модифицированного ФК со старением данных и расширенного ФК; использовать несколько значений параметра старения данных, а также несколько значений начальной оценки неизвестного параметра и дисперсии этой оценки в расширенном ФК.

Задание 5

Исследовать работу адаптивного ФК при наличии неизвестного импульсного входного воздействия и без него; в обоих случаях варьировать параметры M,  и .

При анализе результатов использовать показатели качества работы фильтра J₁() и J₂() из (2.17), (2.18).

2.7. Контрольные вопросы.

1. Каков смысл члена k_f(t) в уравнении (2.1) при k_f > 0, при k_f < 0?

2. Каковы смысл и размерность переменных состояния y₁(t) и y₂(t), а также элементов матриц A, B и G из (2.2), (2.3)?

3. Каковы смысл и размерности всех величин, входящих в уравнение (2.6)?

4. Почему входные воздействия U_k и W_k в уравнении (2.6) необходимо описывать векторами, хотя в исходной системе (2.1) соответствующие им величины F(t) и W_f(t) - скаляры?

5. В каких случаях переходная матрица Ф_k из уравнения (2.6) может быть представлена в виде матричной экспоненты?

6. Каковы смысл и размерность переменных иK_k в уравнениях ФК (2.8) - (2.14)?

7. В каком смысле оценки, вырабатываемые ФК, оптимальны?

8. Являются ли оценки инесмещенными? Как это показать?

9. Каков смысл величины C_k из (2.11)? Покажите, что и.

10. Каким образом вычисляются иP_k при заданных и, и каков смысл этих вычислений в предельных случаях:

а) ; б) ; в) и ; г).

11. Что такое расходимость процесса фильтрации? Каковы основные причины этого эффекта?

12. Чем отличается функционал качества (2.15) от функционала качества из лабораторной работы № 1?

13. Чем отличается функционал качества из (2.16) отJ_k из (2.15)?

14. Как изменяются с изменением k отдельные члены в выражении (2.16), определяющем ?

15. Каков смысл модификации ФК со "старением данных, и каков механизм "устранения расходимости в этом случае?

16. Что характеризуют значения следующих переменных: а) P_k; б) e_k = - Y_k;

в)  при = 1, 2?

17. Что характеризуют величины J₁() и J₂() из (2.17), (2.18)?

18. Какие изменения необходимо внести для детализации п. п. 1 - 4 алгоритма проведения машинного эксперимента, с учетом модели сигнала, используемой в данной работе?

19. Что в данной лабораторной работе является входной информацией для п. п. 2 и 3 алгоритма проведения машинного эксперимента?

20. Какие свойства оценок фильтрации могут измениться при наличии ошибок модели сигнала?

21. Каким образом можно было бы с точностью до некоторых неизвестных параметров описать в уравнении состояния импульсное входное воздействие U_k?

22. Что линеаризуется в линеаризованном ФК?

23. Какой смысл имеет матрица P_k в линеаризованном ФК?

24. Как могут влиять ошибки линеаризации на качество работы расширенного ФК?

25. В чем заключается "адаптивность" описанного в п. 2.5 адаптивного ФК?

26. Какие свойства невязок измерений могут изменяться при наличии ошибок модели сигнал?

27. Какие свойства невязок измерений контролируются в адаптивном ФК?

28. Какие значения параметра M и в каких случаях целесообразно использовать при вычислении Каков смыслприM = 1 и при M = k?

29. Какие значения параметров  и  адаптивного ФК и по каким соображениям следует использовать?

30. Всегда ли для параметра старения s в адаптивном фильтре будет справедливо соотношение s > 1? Почему?