7. (Соответствия и их свойства. Основные определения)

Соответствие между множествами А и В называется подмножество G прямого произведения этих множеств: G подмножество А × В. Если (a, b) принадлежит G, то говорят, что b соответствует а при соответствии G.

Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Свойства соответствий: Всюдоопределенное - значит для каждого элемента из первого множества есть элемент из второго

который соответсвует элементу из первого

сюрьективное соответсвие - это когда для каждого элемента из второго множества существует хотя бы один прообраз из первого множества

функциональное - это когда для каждого элемента из первого множества существует неболее одного образа во втором множестве

однозначное - это когда для любого элемента из первого множества существует ТОЛЬКО ОДИН образ во втором множестве

обратное - это значит, что если поменять множества местами, т.е. первое поставить вместо второе, а второе вместо первого будет выполнятся условие функциональности...

если функциональность будет выполняться значит соответсвие обратное

взаимнооднозначное соответсвие - это значит, что все выше перечисленные свойства выполняются

8. (Функциональное соответствие. Функции и отображения)

Функциональным соответствием f на множестве X x Y называют бинарное отношение f ⊆ X x Y, в котором каждый элемент множества X имеет единственный образ во множестве Y.

Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция  имеет вид A -> B (обозначение f: A -> B). Каждому элементу a из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это записывается в традиционной форме f(a)=b. Элемент a называется аргументом функции, элемент b – её значением.

Отображением А в В называется всюду определённая функция f: A -> B. Отображением А на В называется всюду определённое и при этом сюръективное функциональное соответствие f: A -> B. 

Отображение типа A ->A называется преобразованием множества A.

9. (Унарные и бинарные операции. Свойства бинарных операций)

Операцией называют функцию, все аргументы и значе­ния которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n-местная функция типа φ: М × М × ... × М -> М (иное обозначение φ: Мⁿ -> М) называется п-арной операцией на множестве М. В таких случаях говорят, что множество М замкнуто относительно операции φ (резуль­тат выполнения операции φ на М принадлежит М). В частности:

1. Функция одного аргумента φ (х) = у, имеющая тип φ: М -> М, называется унарной операцией.

Примеры унар­ных операций:

• элементарные функции е^x, log x, sin x и др.

• операция над множествами - дополнение Ā;

• отображения типа А -> А, такие как преобразования, перестановки;

2. Функция двух аргументов φ (х, у) = z, имеющая тип φ: М × М -> М, называется бинарной операцией.

Примеры бинарных операций:

• арифметические операции: сложение, вычитание, умно­жение, деление, возведение в степень;

• операции над множествами: пересечение ᴖ, объедине­ние ᴗ и, разность \;

• операция композиции функций, отображений, отноше­ний и др. Если над элементами a,b ∈ М выполняется опера­ция φ, дающая результат z ∈ М, то это записывается часто как а φ b = z.

Свойства бинарных операций:

1) φ - ассоциативна, если для любых а,b,с из М

(а φ b) φ с = а φ (b φ с)

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств, композиция ото­бражений - ассоциативные операции).

Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении a φ b φ с можно не расставлять;

2) φ - коммутативна, если для любых а, b, с

a φ b = b φ a

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции; арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А -> А конечного множества - некоммутативны);

3) φ - дистрибутивна слева относительно операции ψ, если для любых а, b, с

а φ (b ψ с) = (а φ b) ψ (а φ с)

и φ дистрибутивна справа относительно операции ψ, если для любых а, b, с

(а ψ b) φ с = (а φ с) ψ (b φ с)

(арифметические операции умножения и деления дистри­бутивны относительно операций сложения и вычитания сле­ва и справа, но не наоборот: операции сложения и вычита­ния недистрибутивны относительно операции умножения и деления; операции объединения и пересечения множеств ди­стрибутивны относительно друг друга слева и справа).