50.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.
Если
существует предел:
,
то
при L < 1 ряд сходится
при L > 1 ряд расходится
при L = 1 необходимы доп. исследования. (признак неприменим)
Пример:
Докажем сходимость:
сравним с рядом:
. Поскольку
при всех n
=> достаточно доказать сходимость
этого ряда. Так как
,
то
=
Т.о.
.
Этот ряд сходится => искомый ряд тоже
сходится. Признак Даламбера не работает:
51.
Сформулируйте признаки сравнения для
числовых рядов с неотрицательными
членами. Используя этот признак, докажите,
что ряд
расходится .
Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…., причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго: an<bn (n= 1, 2,….). Тогда из сходимости второго ряда («большего») следует сходимость первого ряда («меньшего»). Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.
Второй признак сравнения: Если для рядов a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+….,с положительными членами существуют отличный от нуля предел отношения limn→∞an/bn=u, то ряды a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…. Сходятся или расходятся одновременно.
Практика:
, доказать расходимость ряда:
Используем сравнительный метод:
, где - меньше . Так как расходится и является меньше, то по первому признаку сравнения. Значит
52. Сформулируйте интегральный признак сходимости числового ряда с положительными членами. При каких положительных значениях ряд сходится, а при каких расходится? Ответ обоснуйте.
Интегральный признак: Пусть неотрицательная функция y=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫1∞f(x)dx
Практика:
,
при каких α ряд сходится, при каких
расходится.
3
)
Рассмотрим случай при 0<a<1
И
меем
Сравним с, при, так
как - гармонический и расходится, то по
первому признаку сравнения исходный
ряд тоже сходится.
4)
рассмотрим случай при
:
Имеем
Получается:
,
в силу того что q>0
53.Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.
- гармонический
ряд.
Док-во расходимости:
По
интегральному признаку Коши: f(x)=
- монотонно убывает на [1;∞), f(x)→0
при x→∞.
Тогда
=
lim(lnx)-ln1
= ∞ => ряд расходится
54.Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
Если
члены знакочередующегося ряда убывают
по модулю (
)
и стремятся к нулю, когда n,то
1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не
превосходит по абсолютной величине
первого из своих членов и имеет одинаковый
с ним знак.
Условная сходимость – это когда сам ряд сходится, а ряд, составленный их модулей членов – расходится. Пример:
- по Т.Лейбница
сходится. Но ряд модулей расходится:
(гармонический
ряд).