Сарієнко В.К.

Розширення поняття про число

Курс лекцій

Слов’янськ

2009

УДК 51(075.32)

ББК 22.1я73 С 811

В.К. САРІЄНКО. Розширення поняття про число.

Навчальний посібник для студентів факультетів підготовки вчителів початкових класів педагогічних вищих навчальних закладів.

У посібнику викладений навчальний матеріал з теорії звичайних та десяткових дробів. Подається матеріал про відсотки та пропорції, дійсні числа. Матеріал розроблений відповідно до навчальної програми з математики для педагогічних університетів та інститутів.

 Сарієнко В.К., 2009

РОЗШИРЕННЯ ПОНЯТТЯ ПРО ЧИСЛО

Як свідчить історія, натуральні числа утворилися в результаті потреби рахувати, визначати чисельність множини, а дроби утворилися в результаті вимірювання величин.

Нагадаємо, що вимірюванням називається сукупність дій, які виконуються за допомогою засобів порівняння заданого об'єкта з якимось іншим об'єктом з тієї ж множини, який ми приймаємо за одиницю виміру, з метою визначення числового значення вимірюваного об'єкта у визначених одиницях виміру. Під одиницею виміру ми розуміємо умовно вибраний об'єкт, якому у відповідність ставимо число 1. При цьому, як ми говорили, Якщо одиниця виміру "вміщується" в заданому об'єкті цілу кількість разів, то результат виміру (міра) буде виражений цілим числом. Якщо ж одиниця виміру "не вміщується" цілком в обраному об'єкті цілу кількість разів, то для вираження результату вимірювання треба розширити запас чисел, тобто ввести числа, відмінні від натуральних.

Нагадаємо, що якщо для елементів а i b з множини Р існує такий елемент m, що a = km, a b = lm, то елементи a i b називаються сумірними. Якщо ж такого елемент m не існує, то відрізки називаються несумірними. Такий елемент т називається спільною мірою елементів а і b.

Нехай у множині Р елементу е поставимо у відповідність число 1. Тоді, якщо елемент m = e, то міра елементів а і b буде виражатися цілим числом (а = kе, b = le). Якщо ж m < e, тобто в елементах a (або b) цілу кількість разів вміщується не весь одиничний елемент е, а його якась частина, то у цьому випадку постає задача розбиття одиниці виміру на менші частини, і міра даних елементів буде виражена вже не цілим числом, а числом іншого виду, так званими дробами.

В чому ж їх суть? Розглянемо це питання на прикладі вимірювання відрізків, хоча це можуть бути і елементи будь-якої іншої множини (поверхні, тіла ...).

Нехай нам задана властивість А (довжина), яку мають елементи a, b, с,... деякої множини відрізків М. Виберемо за одиницю виміру відрізок e, тобто поставимо у відповідність відрізку e число 1. Виберемо з множини М якийсь відрізок a і встановимо відповідність між цим відрізком і одиничним відрізком е, тобто встановимо міру відрізка а. Тут можливі два варіанти: відрізки a i e сумірні або несумірні.

Розглянемо варіант, коли відрізки a i e сумірні. Тоді існує такий третій відрізок х, який міститься у відрізку а т разів, а у відрізку е - п разів, тобто а = тх і е = пх. Тобто у цьому випадку відрізок х буде спільною мірою відрізків а і е. Тут можливі два випадки:

1) п = 1. Тоді е = х і а = mе, тобто одиниця виміру міститься у відрізку а цілу кількість разів, і довжина відрізку буде виражена цілим числом;

2) n 1. Тоді х = i а = e. З цього ясно, що елемент а містить у собі п елементів х, кожний з яких складає частину е. Тут вимірювання характеризується двома натуральними числами т і п. Число п визначає, на скільки рівних частин розділена одиниця виміру е, а число т визначає, скільки разів частина одиниці міститься в елементі а. Вираз називається звичайним дробом.

Означення. Звичайним дробом називається пара натуральних чисел т і п, записаних у вигляді , де п показує, на скільки частин розбита одиниця, а m показує, скільки таких частин в даній величині міститься.

Число т називається чисельником, а число п - знаменником.

Таким чином, оскільки одиниця виміру е не вміщується в відрізку а цілу кількість разів, то ми фактично перейшли на меншу одиницю х, яка в п разів менша за е.

Дріб, в якому чисельник менший за знаменник, зветься правильним, якщо ж навпаки, то неправильним.

Запис, що складається із цілого числа і дробу називається мішаним числом.

Довжина одного і того ж відрізка а при заданому одиничному відрізку е може бути виражена різними дробами.

Означення. Дроби, які виражають міру одного і того ж об’єкту, називаються еквівалентними (рівносильними).

Якщо спільну міру х розбити на к частин, кожна з яких буде мати довжину р, тобто х = кр, то буде: е = кnр, а а = кmр. Тоді довжина того ж відрізка а буде виражена дробом . Звідси випливає властивість, яка одержала назву основної властивості дробу. “Якщо чисельник і знаменник дробу помножити (або поділити) на будь-яке натуральне число, то одержимо дріб, рівносильний даному. Тобто ~ .

Ця властивість лежить в основі такого перетворення, як скорочення дробів. В цьому разі в чисельнику і знаменнику виділяють найбільший спільний дільник і на нього ділять чисельник і знаменник.

Теорема. Дроби i будуть рівносильні, якщо тр = пк.

Дійсно, нехай тр = пк. Поділивши обидві частини цієї рівності на добуток пр, отримаємо рівність = . Оскільки вони рівні, то відображають довжину одного і того ж відрізку, тобто можна записати ~ .

Навпаки, якщо ~ , то вони відображають довжину одного і того ж відрізка. Помноживши чисельник і знаменник першого дробу на р, а другого на п, отримаємо ~ . Оскільки ці дроби мають однакові знаменники, то еквівалентні вирази і можуть виражати довжину одного і того ж відрізку тільки в тому разі, якщо тр = пк. Що і треба було довести.

Звідси дуже легко зробити висновок, що > , якщо тр > пк і < , якщо тp < nk.

Оскільки довжина відрізку повинна виражатися одним додатнім числом, то еквівалентні дроби є різними представниками одного і того ж числа. Додатні числа, які можна представити у вигляді , називаються додатними раціональними числами. Інакше можна сказати, що раціональним числом називається множина еквівалентних дробів виду . Таким чином, множина дробів { ; ; ; ; ... ; ;...} є додатнім раціональним числом. Серед цієї множини є дріб, у якого чисельник і знаменник взаємно прості. Такий дріб називається нескорочуваним. Він є головним представником множини названих еквівалентних дробів. Таким чином, раціональні числа (як множини еквівалентних дробів) мають властивість, що для будь-якої множини еквівалентних дробів існує один і тільки один дріб, чисельник і знаменник якого взаємно прості.

В п р а в и.

1. Виберіть одиничний відрізок е і побудуйте відрізок, довжина якого складає

е ; е; е; е.

2. Знайдіть спільну міру відрізків довжиною 3м 42см і 60см; 21м 06см і 6м 12см ; 409см і 41мм; 4м 13см і 419см; загальну міру маси 720г і 325г; 28кг 35г і 41кг 16г; загальну міру часу; 7год і 12хв; 35хв і 1год 20хв; 2год 24хв і 36хв; 1год і 13сек; 41хв і 35сек.

3. Складіть множини дробів, еквівалентних дробам ; ; .

4. На множині дробів задано відношення еквівалентності. Виберіть підмножини еквівалентних дробів.

5. Порівняйте дроби: і ; і ; і ; і ; і .