Пропорції

Нехай заданий дріб . Він показує, що в даному числі міститься т п-них частин одиниці виміру, або, розглядаючи риску як знак ділення, у скільки разів число т більше або менше за п. Наприклад, розглядаючи дріб , ми зазначаємо, якщо одиницю виміру розбити на 4 рівні частини і взяти 8 таких частин, то вони складуть 2 цілих одиниці, тобто дріб дорівнює числу 2. Іншими словами, він показує, що 8 більше 4 у 2 рази. В цьому разі дріб розглядається як відношення 8 до 4, значення якого дорівнює 2. Надалі, виходячи з ідентичності позначень ділення як дві крапки і дробової риски, в частині випадків відношення a : b будемо записувати як .

Якщо розглядати відношення величин, то треба спиратись на такі властивості:

1) відношення величин можна замінити відношенням чисел, що їм відповідають. Наприклад, нехай нам задані два відрізка довжиною 12м і 4м. Відношення 12м : 4м = 3, тобто перший відрізок у 3 рази більший за другий. Відношення чисел 12 : 4 теж дорівнює 3, тому відношення 12м : 4м можна замінити просто відношенням чисел 12 : 4, тобто 12м : 4м = 12 : 4;

2) відношення a : b не зміниться, якщо обидва члени його помножити або поділити на одне і те ж число. Дійсно, згідно з властивістю ділення, що якщо ділене і дільник помножити або розділити на одне і те ж число, то частка не зміниться, можна записати: a : b = am : bm. Аналогічно a : b = (a:m) : (b:m). Це означає, що відношення великих чисел можна замінити відношенням малих чисел, наприклад, 36 : 48 = 3 : 4;

3) На тій же підставі можна замінити відношення дробових чисел цілими. Дійсно, : = : = ad : bc. Очевидно, якщо відношення = n i = n, то можна записати, що = .

Означення: Рівність двох відношень називається пропорцією.

Якщо обидві частини цієї рівності помножити на добуток bd, то одержимо рівність ad = bc. Тобто, добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів пропорції. Цей висновок одержав назву основної властивості пропорції.

Відношення бувають прямо пропорційними і зворотно пропорційними.

Відношення називається прямо пропорційним, якщо збільшення (зменшення) однієї величини тягне за собою збільшення (зменшення) у стільки ж разів другої величини. Наприклад, 3 метри тканини коштують 9 гривень. Скільки коштують 6 метрів? 3 : 6 = 9 : х. х = . Тобто збільшення кількості матерії удвічі тягне за собою і збільшення вартості удвічі.

Відношення називається зворотно пропорційним, якщо збільшення (зменшення) однієї величини тягне за собою зменшення (збільшення) у стільки ж разів другої величини. Наприклад, на 36 гривень закупили 3 м матерії ціною по 12 гривень за метр. Скільки метрів матерії можна закупити на ті ж гроші ціною по 4 гривні? 3 : х = 4 : 12. х = , тобто зменшення ціни у 3 рази тягне за собою збільшення у 3 рази кількості матерії, яку можна закупити на ту ж суму.

У наведених прикладах розглянута пропорційна залежність між двома величинами (кількість і вартість, або кількість і ціна). В цьому разі пропорція називається подвійною. Пропорційна залежність між трьома величинами називається потрійною. Прикладом її може бути залежність, викладена у задачі: 12 автомобілів на 100 км витрачають 120 л бензину. Скільки бензину витратять 16 автомобілів на 150 км?

В п р а в и.

1. Замінити відношення дробових чисел відношеннями цілих чисел:

а) ; б) ; в) ; г) 3 .

2. Концентрацією розчину називається відношення кількості розчиненої речовини до кількості усього розчину. У 2л води розчинено 40г солі. Знайти концентрацію розчину.

3. Концентрація розчину солі . Скільки солі міститься у 4 л солі?

4. Знайти чисельний масштаб, якщо 1см на кресленні відповідає 7 м на місцевості.

5. Яким відрізком на карті відобразиться відстань у 600 м на місцевості, масштаб карти а) б) в) ?

6. Розв’яжіть пропорції:

а) 24 : х = 8 : 5; б) х : 15 = 8 : 24; в) 343 : 98 = х : 60.

7. У 800 г розчину міститься 50 г солі. Скільки солі у 240 г розчину?

8. З 24 кг соняшникового насіння отримано 8 кг масла. Скільки насіння потрібно для отримання 15 кг масла?

9. На дільниці залізничної дороги замінили рейки довжиною 8 м на нові, довжиною 12 м . Скільки потрібно нових рейок на заміну 360 старих рейок.

10.Скільки обертів зробить зубчате колесо з 48 зубцями, якщо зціплене з ним колесо має 18 зубців і робить 60 обертів?

11. Для 16 голів худоби на 36 днів потрібно 1920 кг соломи. Скільки соломи потрібно для 20 голів худоби на 40 днів?

12. За 18 днів бригада лісорубів з 15 чоловік заготувала 972 куб.м деревини. Скільки деревини заготує бригада з 12 чоловік за 25 днів?

ДОДАВАННЯ В МНОЖИНІ ДОДАТНІХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Означення. Додаванням додатних раціональних дробів називається бінарна алгебраїчна операція “+”, яка кожній парі дробів і ставить у відповідність єдиний дріб .

З цього означення випливає два випадки:

1) b = d. У цьому разі ми маємо два дроби з однаковими знаменниками і тоді їх сума буде виглядати або . Тобто,

Правило. Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, залишивши той же знаменник.

2) b  d. Тоді сума дробів має вигляд, представлений в означенні. З нього випливає і відповідне правило:

Правило. Щоб додати два звичайних дроби з різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника, додати чисельники і підписати той же спільний знаменник. Якщо можна, то одержаний дріб скоротити.

З правила додавання дробів легко випливає, що операція додавання комутативна, асоціативна і монотонна. Дійсно, операція додавання комутативна, тому що сама дія додавання виконується з чисельниками, які являють собою цілі числа. А для цілих чисел додавання комутативне. Аналогічно виглядає і доведення асоціативності. Монотонність додавання раціональних чисел виглядає так: якщо i будь-яке раціональне число, то = . Дійсно, якщо задані дроби рівні, то ad = bc. Розглянемо, що буде, якщо до обох частин рівності додамо дріб . В результаті додавання за правилом додавання дробів в лівій частині одержимо дріб , а в правій - . Якщо за правилом порівняння дробів перемножимо чисельник першого дробу на знаменник другого, а знаменник першого - на чисельник другого, то одержимо такі два вирази: (ап + bm)·dn = adn² + bmdn, і (cn + dm)·bn = bcn² + bmdn. Порівнюючи ці два вирази за властивістю монотонності додавання в множині натуральних чисел, відмічаємо, що вони рівні, оскільки мають однакові доданки bmdn, а bcn² = adn², оскільки за умовою ad = bc. А значить, = . Аналогічно доводиться, що коли > , то > , а коли < , то < .

ВІДНІМАННЯ В МНОЖИНІ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Означення. Відніманням звичайних дробів називається бінарна алгебраїчна операція “-“, яка будь-якій парі дробів і ставить у відповідність єдиний дріб такий, що має місце рівність .

Аналізуючи це означення можна сказати, що віднімання звичайних дробів є операція, за допомогою якої за відомою сумою і одним доданком знаходиться другий доданок. Тобто, якщо + = , то = -

Теорема. Різниця - в множині додатних раціональних чисел існує тільки тоді, коли . Дійсно, якщо , то ad bc, а тому існує різниця ad - bc. Покажемо, що дріб = є різницею - . Для цього достатньо показати, що сума + = . Дійсно, за правилом додавання дробів з різними знаменниками маємо: + = + = = = , що і треба було одержати. Тому - = . Звідси випливає п р а в и л о: Щоб відняти один звичайний дріб від другого, треба привести їх до спільного знаменника, відняти чисельники і підписати спільний знаменник. Якщо можна, то результат скоротити.

В п р а в и.

1. Заданий дріб . Яке число треба додати до чисельника і знаменника, щоб отримати дріб ?

2. Заданий дріб . Яке число треба відняти з чисельника та знаменника, щоб отримати дріб ?

3. Обчислити:

а)

б) ;

в)

МНОЖЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ

Означення. Множенням звичайних дробів називається бінарна алгебраїчна операція, яка будь-якій парі звичайних дробів і ставить у відповідність єдиний дріб .

Як бачимо, чисельник і знаменник добутку дробів представляє собою добуток чисельників і знаменників цих дробів.

Множення дробів з теоретико-множинних позицій розглядається у два етапи.

1. Розглянемо спочатку множення звичайного дробу на ціле число, тобто . с. Це множення можна розглядати як суму с однакових доданків виду , тобто . Тому сума буде виглядати як , де доданок а повторюється с разів. Тоді добуток · с = . Тобто, щоб помножити дріб на ціле число, треба помножити на ціле число чисельник і підписати той же знаменник. Якщо можна, то скоротити.

2. Множення дробу на дріб. Розглянемо цю операцію на прикладі вимірювання відрізків. Нехай заданий відрізок а сумірний з одиничним відрізком е_1, а відрізок е₁ сумірний з відрізком е₂, причому довжина відрізка а виражена мірою: а = e₁, a е_{1 =} e_2. Або na = pe₁, a qe₁ = te_{2 .} Помноживши обидві частини першої рівності на q, а другої на р, одержимо (nq)a = (pq) e₁ i (pq) e₁ = (pt)e₂. Тоді за властивістю транзитивності рівності випливає рівність: (nq)a = (pt)e₂, а звідси випливає: а = e₂. Тобто, довжина відрізка а буде виражатися звичайним дробом . З другого боку, оскільки а = e_1, а е_{1 =} e_2, то, підставивши в а замість е₁ його вираз через е₂, одержимо, що а = е₂. Звідси ₌ .

Правило: Щоб перемножити два звичайних дроби, треба окремо перемножити чисельники і знаменники.

Множення звичайних дробів має властивості комутативності, асоціативності та скорочуваності. Дійсно, для будь-яких цілих чисел а, b і с маємо аb = bа, (аb)с = а(bс), а з ас = bс випливає, а = b.

Спираючись на алгоритм множення, що випливає з означення, ми відмічаємо, що  = , а  = . Але у чисельнику і у знаменнику ми маємо дії з цілими числами, для яких комутативний закон виконується, тобто = , а значить  =  .

Аналогічно доводиться і асоціативність множення.

Крім того, множення в множині Q дистрибутивне відносно додавання і монотонне, тобто для будь-яких трьох чисел а, b і с з мн. Q (числа a, b i c представляють три звичайні дроби) має місце рівність: (а + b)с = ас + bс, а з а > b випливає ас >bс.

ДІЛЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ

Означення. Діленням звичайних дробів називається бінарна логічна операція, яка будь-яким двом дробам і ставиться у відповідність єдине число таке, що  = .

Порівняння операцій множення і ділення показує, що ділення на можна замінити множенням на . Тому операція ділення вважається оберненою до множення, тобто це дія, за допомогою якої за відомим добутком і відомим одним співмножником знаходять невідомий другий співмножник. Або: якщо = , то : = .

Теорема. Ділення дробових чисел завжди виконується.

Дійсно, з того, що = , випливає = , або cbx= ady. Звідси випливає х = , або = . Тобто п р а в и л о: щоб розділити дріб на дріб, треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого і результат записати в чисельник, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого і записати у знаменник. Якщо можна, то зробити скорочення.

Означення. Числом, оберненим числу , називається число (зважаючи, що а  0 і b 0).

Теорема. При множенні будь-якого раціонального числа на правильний дріб одержується число менше за задане.

Дійсно, нехай задані раціональне число і правильний дріб , де т < n. Виконаємо множення = . Порівняємо дроби і . Маємо добутки аbп і аbт. Виходячи з властивості монотонності очевидно, що аbп > аbт, а це свідчить, що > .

В п р а в и.

1. Виконайте обчислення:

a) ; б) .

2. Розв’яжіть рівняння:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

є) .

3. Автозавод випустив три партії машин. Кількість машин першої партії складають усіх випущених автомобілів. У другій партії кількість машин в 1 разів більше, ніж у першій. А в третій партії на 420 машин менше, ніж у другій. Скільки всього машин випустив завод?

4. Три шматки заліза мають загальну масу 17 кг. Якщо масу першого шматка зменшити на 1 кг, а масу другого на 2 кг, то усі три шматки будуть мати однакову масу. Якої маси був кожний шматок?

5. Суміш з води та цукру має масу 330г. Маса цукру в цієї суміші складає маси води. Скільки в суміші цукру і скільки води?

ВІДНОШЕННЯ ПОРЯДКУ НА МНОЖИНІ

РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

З порівняння дробів і випливає, що між будь-якими двома раціональними числами можна встановити одне з трьох відношень: < , > або = .

Теорема. В множині раціональних чисел виконується властивість транзитивність нерівності. Тобто треба довести, що коли < , а < , то < . Дійсно, якщо < , то ad < bc, а якщо < , то cn < dm. Перемноживши ці дві нерівності, одержимо нерівність adcn < bcdm, або an < bm, а це означає, що < . Що і треба було довести.

Теорема. Відношення нерівності асиметричне. Дійсно, нехай задана нерівність < . Тоді вірним буде ad < bc. Але за властивістю асиметричності в множині цілих чисел невірним буде bc < ad, тобто невірною буде і нерівність < , тобто відношення нерівності асиметричне.

З цих двох теорем випливає наслідок, що на множині раціональних чисел визначене відношення порядку.

Окрім названої властивості раціональних чисел, множина Q має і такі важливі властивості як щільність та зчисленість.

Означення. Множина М називається щільною, якщо між будь-якими двома якомога близько розташованими елементами існує ще нескінчена кількість елементів.

Теорема. Множина раціональних чисел щільна.

Нехай задані два раціональних числа а і b. Для них завжди існує їх середнє арифметичне , тобто число, що знаходиться між ними. А оскільки ці числа будь-які, то це означає, що які б не були раціональні числа а і b, між ними завжди міститься ще нескінченна кількість раціональних чисел.

Означення. Множина називається зчисленною, якщо між її елементами і множиною натуральних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Якщо такої відповідності встановити не можна, то множина називається незчисленною.

Теорема. Множина раціональних чисел зчисленна.

Щоб це довести, введемо попередні умови: представимо кожне раціональне число у вигляді звичайного дробу. Назвемо висотою дробу суму його чисельника і знаменника. Розташуємо всі звичайні дроби в порядку зростання висоти, а числа з однією висотою - в порядку зростання чисельника. Цей ряд буде мати такий вигляд: , , , , , , ... Таким методом можна перебрати, перелічити всі звичайні дроби, тобто поставити їм у відповідність множину натуральних чисел.

Q₊ = , , , , , , ...

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

N = {1 2 3 4 5 6 7 … }

А це означає, що множина раціональних чисел зчисленна.