Раздел 2 Теория очередей

Модель, иллюстрируемая одноканальной однофазной системой с пуассоновым распределением появления заявок и экспоненциальным временем обслуживания – это модель А; модель В – многоканальный эквивалент модели А; модель С характеризуется постоянным временем обслуживания; модель D – с ограниченным размером источника появления заявок.

Все четыре модели связаны с пуассоновым распределением заявок, дисциплиной обслуживания «первым пришел, первым ушел» и с однофазным сервисом.

Типичными операционными характеристиками рассматривают среднее время ожидания в очереди и в системе, среднее число заявок в очереди и в системе, время простоя и коэффициент использования системы.

Интенсивность нагрузки систем ,

Величина представляет собой долю вре­мени занятости канала обслуживанием требований и изменяется в пределах = 0 - 1. При = 0 канал совершенно не загружен ( =0), при =1 ( ) канал загружен полностью.

- вероятность того, что в системе есть требование, равна ;

вероятность того, что в системе нет требований (k=0), представляет собой вероятность противоположного события и равна ;

вероятность того, что в системе находится больше одного требования (т.е. вероятность образования очереди), равна

вероятность того, что в системе более п требований, равна

— вероятность того, что в системе находится k требований (в очереди или в канале обслуживания), равна

— среднее число требований, находящихся в системе, равно

- среднее число требований в очереди для всего периода функционирования системы равно

среднее число требований в очереди для того времени, когда очередь существует ( ), равно

— среднее время ожидания требованием обслуживания равно

среднее время пребывания заявки в системе равно

С помощью данных зависимостей можно рассчитывать основ­ные показатели, характеризующие качество процесса обслужива­ния, т.е. решать задачи оценки.

Для решения задач оптимизации необходимо сформулировать критерий. Поскольку внешние ус­ловия функционирования считаются заданными характером и интенсивностью потока заявок, цель оптимизации состоит в том, чтобы выбрать такую систему обслуживания, которая позво­лила бы свести потери от ожидания в очереди и простоя ка­нала обслуживания до минимума. Эта цель достигается глав­ным образом выбором оптимальной пропускной способности канала.

Задачу можно сформулировать как обратную задачу, которая состоит в выборе лучшей пропускной способности канала обслуживания. Лучшей будем считать такую пропускную способность, которая при заданном потоке заявок обеспечит минимальные потери от нахождения заявок в очереди и затрат на содержание канала обслуживания.

Потери от нахождения в системе одной заявки в единицу времени С1, а затраты на содержание единицы про­пускной способности канала обслуживания С2..

Для многоканальных систем обслуживания основными параметрами являются:

- среднее число требований в очереди ( );

- среднее число требований в системе ( ;

- среднее время ожидания обслуживания одного требо­вания ( ;

- среднее время пребывания требования в системе (

- вероятность образования очереди (вероятность того, что в системе с S каналами находится требований).

Эти характеристики позволяют не только определять основные показатели многоканальных систем обслуживания, но и решать задачи оптимизации их пропускной способности. Для нахождения оптимального числа каналов в системе можно вос­пользоваться целевой функцией следующего вида:

где L - потери от ожидания требованиями обслуживания и от простоев каналов обслуживания в единицу времени;

С - убытки от ожидания одной заявкой обслуживания в единицу времени;

- среднее число заявок, ожидающих обслуживания;

С - убытки от простоя канала обслуживания в единицу времени;

- среднее число незанятых каналов.