2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.1 .ПК Электронная компания ремонтирует сломанные машины, которые поступают в среднем с l = 3 в день (согласно распределению Пуассона). Имеется возможность обслужить в среднем т = 8 машин в день, время ремонта распределено согласно экспоненциальному закону.

а) Каков коэффициент использования сервисной системы? б) Чему равно среднее время ремонта сломанной машины? в) Как много машин ожидают в очереди сервиса в некоторое установленное время? г) Какова вероятность того, что больше чем одна машина находится в системе? Какова вероятность того, что более чем две машины сломались и ожидают ремонта или сервиса? А больше чем три? Больше чем четыре?

Задача 5.2.ПК Автоматическая мойка машин работает шесть дней в неделю, но самый тяжелый день для бизнеса – всегда суббота. Из прошлых данных менеджер знает, что грязные автомобили прибывают со скоростью 20 в час. Он считает, что с полностью работающей моечной линией автомобили могут быть помыты со скоростью один каждые две минуты. Прибытия распределяются по закону Пуассона, а время обслуживания – по экспоненциальному закону. Найдите:

а) среднее число автомобилей в очереди; б) среднее время ожидания автомобиля перед мойкой; в) среднее время нахождения автомобиля в сервисной системе; г) коэффициент использования системы; д) вероятность отсутствия автомобилей в системе; е) оборудование полностью автоматической мойки позволяет вымыть один автомобиль каждую минуту с постоянным временем обслуживания. Как вы ответите на вопросы «а» и «б» при новой системе обслуживания?

Задача 5.3.ПК Менеджер управляет комплексом кинотеатров, называемых кинотеатры 1, 2, 3, 4. В каждом из четырех показывают разные фильмы, расписание сеансов построено так, чтобы время начала сеансов не совпадало. Кинотеатр имеет одну билетную кассу, и кассир продает 280 билетов в час. Время обслуживания подчинено экспоненциальному распределению. Прибытия в нормальный день подчинены закону Пуассона и появляются в среднем 210 в час.

Для определения эффективности существующей операционной системы продажи билетов менеджер определил ряд характеристик очереди.

а) Найти среднее число зрителей, ожидающих в очереди билетов. б) Какую часть времени кассир занят? в) Какое среднее время посетитель находится в системе? г) Каково время ожидания в очереди до того, как она подойдет к билетному окну? д) Какова вероятность того, что больше чем два человека стоят в очереди? Больше чем три? Больше чем четыре?

Задача 5.4.ПК Университетский кафетерий построен на самообслуживании, когда студенты выбирают блюда, которые хотят, а затем встают в одну очередь платить кассиру. Студенты прибывают со скоростью около четырех человек в минуту согласно закону Пуассона. Один кассир тратит 12 секунд на человека в соответствии с экспоненциальным распределением.

а) Какова вероятность того, что больше чем два студента находятся в системе? Больше чем три студента? Больше чем четыре? б) Какова вероятность того, что система пуста? в) Какое время будет в среднем стоять студент в очереди, прежде чем дойдет до кассира? г) Каково число студентов в очереди? д) Каково число студентов в системе? е) Если добавить второго кассира (который будет работать так же, как и первый), каковы будут операционные характеристики, посчитанные в пп. «б», «в», «г» и «д»? Студенты ждут в одной очереди, и первый обслуживается освободившимся кассиром.

Задача 5.5.ПК Сезон уборки пшеницы короткий, и фермеры доставляют грузовиками пшеницу в гигантское центральное хранилище в течение двух недель. Вследствие этого грузовики с пшеницей ожидают разгрузки и возвращаются на поля после разгрузки. Центральное хранилище является кооперативной собственностью, и каждый из фермеров заинтересован сделать процесс разгрузки и хранения эффективным, насколько это возможно. Затраты на зерно увеличиваются при задержках разгрузки, и затраты на амортизацию грузовиков и оплату простоев водителям являются важными заботами членов кооператива.

Хотя фермерам трудно установить убыток урожая, но они определили затраты ожидания и разгрузки грузовика и затраты водителя $18 в час. Хранилище открыто и работает 16 часов в сутки и семь дней в неделю в течение двухнедельного сезона уборки. Заполненные грузовики поступают весь день (в течение часов, когда хранилище открыто) со скоростью около 30 машин в час согласно закону Пуассона.

Помогите кооперативу решить проблему уменьшения времени, которое грузовики ожидают в очереди или разгружаются в хранилище, найдя:

а) среднее число грузовиков в разгрузочной системе;

б) среднее время на грузовик в системе;

в) коэффициент использования для разгрузочной системы;

г) вероятность того, что больше чем три грузовика находятся в cистеме в некоторый момент времени;

д) кооператив, как известно, использует хранилище только две недели в году. Фермеры думают, что, расширяя хранилище, снизят затраты разгрузки на 50 % в следующем году. Это будет стоить $9000. Является ли это решение приемлемым для кооператива?

Задача 5.6.ПК Магазин успешно торгует по каталогам, и клерк принимает заказы по телефону. Если он занимает линию, автоответчик предлагает клиенту подождать. Как только клерк освобождается, заказы, которые ждали дольше, обслуживаются первыми. Заказы приходят со скоростью около 12 в час. Клерк способен обслужить один заказ в среднем за четыре минуты. Звонки поступают по закону Пуассона, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону.

Клерк получает $5 в час, но потеря продаж оценивается около $25 за час ожидания в очереди.

а) Какое среднее время должен ждать клиент в очереди, прежде чем ему ответит и оформит заказ клерк? б) Каково среднее число заказчиков в очереди? в) Менеджер решил добавить второго клерка на оформление заказов. Его зарплата также $5 в час. Нужен ли второй клерк? Объясните свой вариант ответа.

Задача 5.8.ПК

Популярный салон стрижки и причесок недалеко от кампуса университета имеет четырех парикмахеров, которые работают полный день и обслуживают в среднем по 15 минут каждого клиента. Клиенты появляются весь день в среднем со скоростью 12 человек в час. Появление клиентов подчинено закону Пуассона, а время обслуживания распределено экспоненциально. Ответьте на следующие вопросы:

а) Какова вероятность того, что салон-парикмахерская пуст?

б) Каково среднее число клиентов в салоне?

в) Какое время в среднем проводит клиент в салоне?

г) Какое время в среднем клиент ждет приглашения в кресло к мастеру?

д) Каково среднее число ожидающих обслуживания?

е) Каков коэффициент использования системы?

ж) Менеджер думает добавить пятого мастера. Как этот факт отразится на коэффициенте использования?

Задача 5.10.ПК Один механик обслуживает пять сверлильных станков. Они ломаются в среднем один станок за каждые шесть дней работы, и поломки имеют тенденцию к распределению Пуассона. Механик может выполнить в среднем один ремонт в день. Время ремонта подчинено экспоненциальному распределению.

а) Какое количество станков в среднем ожидает ремонта?

б) Какое количество станков в среднем работает?

в) Каково будет время ожидания ремонта, если добавить второго механика?

Задача 5.11.ПК Два техника наблюдают за группой из пяти компьютеров, которая работает на автоматизированном производстве. В среднем 15 минут (экспоненциальное распределение) тратится на устранение возникающей проблемы с компьютером. Компьютеры работают в среднем 85 минут (распределение Пуассона) без возникновения проблем, устраняемых техником. Каково при этом:

а) среднее число компьютеров, ожидающих обслуживания;

б) среднее число обслуживаемых компьютеров;

в) среднее число неработающих компьютеров.

Задача 5.12 Магазин обслуживает приблизительно 300 человек, делающих покупки между 9-ю утра и 17-ю часами дня в субботу. Для решения, сколько кассиров на узле расчета должно быть каждую субботу, владелец магазина принимает во внимание время ожидания в очереди (или затраты ожидания) и затраты сервиса от добавления числа кассиров. Кассир узла обслуживания получает в среднем $4 в час. Когда работает только один кассир, время в очереди покупателя составляет около 10 минут (или 1/6 ч); когда два кассира работают, среднее время уменьшается до 6 минут на человека; 4 минуты – когда три кассира; и 3 минуты – когда работают четыре кассира.

Владелец магазина проводит политику сервиса, удовлетворяющего покупателя, и оценивает, что магазин несет потери в $5 за каждый час времени, затраченный покупателем в очереди. Используя данную информацию, определите оптимальное число кассиров каждую субботу, минимизирующее общие затраты магазина.