Вопрос №6 Числовые ряды

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность  и формально составим сумму ее членов     Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности  называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда  . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

 

ПРИМЕР 1.  Вычисление частичной суммы числового ряда.

Сходимость числового ряда. Ряд     называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности      частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают    ,  . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность   называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда     . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то   (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться.

 

Вопрос №7 Признак Даламбера .Радикальный признак Коши

Признак Даламбера

Пусть   − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:

 Если  , то ряд   сходится;

 Если  , то ряд   расходится;

 Если  , то ряд   может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.

Радикальный признак Коши

Снова рассмотрим ряд   с положительными членами. Согласно признаку Коши:

 Если  , то ряд   сходится;

 Если  , то ряд   расходится;

 Если  , то вопрос о сходимости ряда  , также как для признака Даламбера, остается открытым.

Вопрос №8 Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u₁-u₂+u₃-u₄+…+     +(-1)^n-1.u_n+…, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

 

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

    (19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S_2n=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2n-1-u_2n).

По условию u₁>u₂>…>u_2n-1>u_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n и S_2n>0 при любом n.

С другой стороны S_2n=u₁-[(u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u_2n-2-u_2n-1)+u_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n>0, поэтому S_2n<u₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный   S_2n=S. При этом 0<S≤u₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S_2n+1=S_2n+u_2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S_2n+1= S_2n+ u_2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому  S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.